f111

Eventuels problèmes
posés par un choix de coordonnées.

...Nous
allons évoquer les risques encourus en plaquant un système de
coordonnées sur une solution géométrique, en exprimant
cette solution dans ce système de coordonnées particulier :
encore faut-il que celui-ci soit adéquat. Quand nous regardons la solution
ci-dessus, en supposant que cette géométrie soit solution d'une
équation de champ, le recours à un système de coordonnées
(r , q) présupposait que la topologie était
"localement sphérique", en deux dimensions, bien sûr. C'est à
dire qu'à l'intérieur de tout cercle "centré sur ce centre
géométrique hypothétique on pouvait toujours inscrire
un cercle plus petit, jusqu'à ce que ce cercle devienne un point. Mathématiquement
on dirait que tout cercle de rayon r délimite une "cellule contractile".

...En
3d, localement, l'univers serait "en poupées russes". A l'intérieur
d'une sphère on pourrait toujours inscrire une sphère d'aire
plus faible. En 3d, il s'agit d'une topologie localement sphérique.

Peut-il en être
autrement ?

Oui, si la topologie
de la surface est "localement torique". En 2d cela donne ceci :

...Remarque
: l'objet de la figureci-dessus est une surface 2d au sens où il faut
deux paramètres pour y repérer la position d'un point. En ce
sens une courbe est une "surface à une dimension". Quand il parlera
du cercle, le géomètre emploiera l'expression "sphère
S1", c'est à dire "sphère à une seule dimension" : il
ne faut qu'un unique paramètre, l'abcisse, pour repérer un point
sur une courbe, objet unidimensionnel. La sphère S2, la sphère
"ordinaire" et le cercle, la sphère S1 on quelque chose en commun :
ce sont des objets "fermés" (concept alors emprunté à
la topologie).

...Ce
nombre de quantités servant à définir la position d'un
point dans un espace est précisément la définition de
la dimension de cet espace. Ainsi considèrera-t-on l'espace
temps (x,y,z,t) comme une hypersurface à quatre dimensions, parce qu'il
faut quatre quantités pour y définir un point, dit "événement".

Fin de cette remarque
sur le concept de dimension.

...Il
faut bien garder une chose en tête. Le géomètre qui construit
une solution particulière d'une équation de champ est aveugle,
il ne peut pas voir l'objet géométrique qu'il obtient.
Il ne peut que l'explorer, à travers ses géodésiques,
en décrivant celles-ci dans un système de coordonnées
particulières. Les coordonnées polaires de tout à l'heure
correspondaient à l'intersection de la surface par une famille de cylindres
coaxiaux :

et par une famille de
plans passant par l'axe commun de ceux-ci.

En 3d il s'agirait de
l'intersection de l'espace par une famille de sphères concentriques.

...Mais
que se passe-t-il si on coupe la surface présentant cette sorte de
pont tubulaire par une famille de cylindres concentriques ? Tant que les cylindres
coupent la surface, ça va. Mais quand leur périmètre
devient inférieur à celui du "cercle de gorge" ces section deviennent
des ... courbes imaginaires. Soit p le périmètre du cercle de
gorge. Associons-le à une longueur Rg telle que p = 2 p
Rg .

...Il
est clair que tout cylindre de la famille tel que r < Rg ne
coupe pas la surface. Lorsque le géomètre s'intéressera
à l'allure des géodésiques de la surface pour r <
Rg il trouvera des objets géométriques imaginaires.

...Quand
on cherche l'intersection de deux points avec une droite, correspondant par
exemple à x = xo on trouve deux valeurs réelles, pour y, lorsque
la droite coupe effectivement le cercle. Sinon ces valeurs sont imaginaires
pures.

...Si
un homme, qui explore une surface dans l'obscurité, sans pouvoir en
percevoir la forme , qu'il ignore que la topologie de celle-ci est
localement torique , il pourra être extrêmement déconcerté.
La surface peut être repérée à l'aide de deux familles
de courbes :

...Chaque
courbe est définie par un paramètre. Un point M , à l'intersection
de ces deux courbes, est bien défini par deux quantités (a,b),
les deux valeurs des courbes passant par M.

...La
première est constituée par des cercles qui ne sont pas des
géodésiques de la surface (sauf le cercle de gorge), la seconde
par des géodésiques, d'allure hyperbolique, orthogonales à
ces cercles. Les courbes hyperboliques évoquent des trajectoires plongeantes,
qui permettent de passer d'un nappe à une autre nappe.
On peut évidemment avoir la même situation pour une espace 3d,
localement hypertorique. Les cercles seront remplacés par une famille
de sphère, parmi lesquels on trouvera une sphère de gorge
, d'aire minimale. Les lignes constituant les trajectoires orthogonales à
cette famille de sphères constituent des trajectoires plongeantes permettant
de passer par ce tunnel hypertorique et de réapparaître dans
une autre nappe (ou feuillet) 3d.

...Cette
remarque n'est pas gratuite. On aura l'occasion d'y revenir lorsqu'on mettra
le modèle du trou noir en examen. En effet, dans ce modèle,
lorsqu'on pénètre "à l'intérieur de la sphère
horizon" la masse d'une particule devient... imaginaire pure (cela et bien
d'autres choses encore). On est alors en droit de se demander si on est encore
dans l'hypersurface espace-temps. Le choix particulier de coordonnées

(t , r , q
, j)

qui implique une topologie
localement hypersphérique (existence d'une coordonnée
radiale r, capable de prendre des valeurs inférieure au rayon de la
sphère horizon, de la sphère de Schwarzschild) serait-il pertinent?

Un astrophysicien connu
écrivait, il y a quelques années :

• Nous en savons maintenant
  beaucoup plus sur l'intérieur des trous noirs.

Mais les trous noirs,
s'ils existent, ont-ils un intérieur, ou correspondent-ils à
une topologie localement hypertorique ?

...On
voit tout ce que peut induire un choix de système de coordonnées.
La solution géométrique existe. Elle possède des géodésiques.
Mais nous ne savons "lire" tout ceci qu'en projetant dans notre espace mental
de représentation : un espace temps euclidien, qui n'est même
pas relativiste. Choisir un système de coordonnées, c'est choisir
un système de lecture, un système de projection.
...Tels les personnages de Platon, nous ne pouvons
qu'observer des ombres sur un "écran euclidien". Encore faut-il choisir
le bon objectif du "système de projection".

...

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