Нова аксіоматика груп

Нова аксіоматика груп **

--- **

...Сурио живе в квартирі у старому Ексе. Двері, що ведуть на вулицю, дуже красиві. У передпокої стоїть досить незвичайний транспортний засіб — носилки старовинної епохи, які належать господарці місця, молодій дамі, археологу, як мені здається. Носилки стоять біля стіни. Залишається знайти двох носіїв, вставити два довгих дерев'яних стержні у кільця і сісти, щоб зробити прогулянку. Вікна закриті склом: бічні скла можна опустити не за допомогою маховика, а за допомогою шнура з шкіри, як це було у вагонах залізниці моєї дитинства.

...Як все це чудово. Я раптом усвідомлюю, що ніколи не їздив на носилках. У часи безробіття я переконаний, що люди могли б заробляти гроші, створивши першу регулярну лінію носилок у старому Ексе. Достатньо зробити транспортний засіб, що нагадує старовинні носилки. Це не має бути складно. Потім — купити два вишитих одягів, дві пари перук і вперед. Маршрут: Курс Мірабо. Цього було б достатньо. Потім треба лише мріяти, мати трохи уяви.

...Жан-Марі живе сам зі своїм котом П'юмом у великій квартирі, повній золотих виробів і дерев'яних панелей. П'юм дуже симпатичний. Проте мені не дуже подобаються коти. Але цей — дуже привітний і ласкавий.

Ми зазвичай працюємо на кухні, на одному поверсі вище. Це невелика кімната під дахом, простір якої контрастує з величезними кімнатами нижнього поверху. Кожного разу Жан-Марі намагається випити мені свій улюблений напій — Фернан-Бранка, на основі артишоків, який мені здається дуже неприємним, хоча він приписує йому всі можливі корисні якості.

...Коли він гуляє по місту, він завжди бере з собою GPS, який ніколи не відходить від нього. Досить захоплююче бути керованим супутниками, що перебувають на відстані сорока тисяч кілометрів від вулиці, по якій ти йдеш. Щоб покращити прийом сигналу, Сурио має тенденцію рухатися вздовж осі вулиці, уважно дивлячись на екран з рідкими кристалами. Це, здається, ефективно, але все ж досить небезпечно.

...Я вважаю, що ми добре проводимо час разом. В один вечір у грудні я приїхав навідатися, і в нас виникла така розмова.

• Я тобі розповім про групи. Ти пам'ятаєш аксіоми?

• Так, їх шість. Це:

1 - Існують елементи a, b, c... належать до множини E

2 - Існує внутрішня операція, позначена o ("круг"), що дозволяє поєднувати два елементи множини.

a належить до множини E

b належить до множини E

a o b належить до множини E

3 - Ця операція є асоціативною:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Існує нейтральний елемент e, такий, що:

a o e = e o a = a

5 - Кожен елемент a з множини має обернений елемент, позначений a-1, такий, що:

a-1 o a = a o a-1 = e

Це п'ять?

• Нарешті, п'ять, чотири або один. Не існує абсолютної норми для нумерації аксіом. Ми можемо згрупувати аксіоми 1 і 2 в одну:

• Існують елементи a, b, c і т.д., що належать до множини E, яка має внутрішню операцію композиції, що задовольняє:

a належить до множини E

b належить до множини E

a o b належить до множини E

Це еквівалентно.

• Гаразд, п'ять, чотири — не має значення. А що ти хочеш сказати?

• Я видаляю те, що ти називав аксіомами 4 і 5, що визначають нейтральний елемент і обернений елемент, замінюючи їх аксіомою бутерброда. Загалом, аксіоми:

1 - Існують елементи a, b, c... належать до множини E

2 - Існує внутрішня операція, позначена o ("круг"), що дозволяє поєднувати два елементи множини.

a належить до множини E

b належить до множини E

a o b належить до множини E

3 - Ця операція є асоціативною:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Нехай три елементи a, b, c належать до множини E.

Розглянемо рівняння:

a o y o b = c

Воно має єдиний розв'язок.

Це те, що я називаю аксіомою бутерброда, де "м’ясо" y знаходиться між елементами a і b, а c — це цілий бутерброд. Аксіома означає:

Ми завжди можемо вийняти м’ясо з бутерброда.
*

І я стверджую, що ці аксіоми визначають групи, вони еквівалентні попереднім.

• Цей єдиний розв'язок y належить до множини E, оскільки операція є внутрішньою і асоціативною.

• Звичайно, це очевидно.

• Але краще сказати це вголос. Я не знаю, як ти збираєшся відновити дві аксіоми, що стосуються нейтрального елемента і існування оберненого, але я принаймні розумію, що спонукало тебе до цієї думки.

• Я подумав: "А чому це потрібно?"

• Саме так. Навіщо потрібен нейтральний елемент? Зараз це означає: "Якщо у мене є множина E і нейтральний елемент, я можу композитувати всі елементи цієї множини з ним і отримати те саме". Це мені не допомагає. Точно так само, чому потрібен обернений елемент? Коли ми робимо обчислення в групах, на будь-якому об'єкті, ми завжди впораємося, множачи справа або зліва на елементи або їх обернені, щоб отримати a o a-1 або a-1 o a, які замінюються на e, потім b o e або e o b, які замінюються на b. Твоя аксіома бутерброда є "функціональною".

• Якщо хочеш. Перейдемо до теорем, що випливають з аксіоми бутерброда. Перша:

I - Існує нейтральний елемент, який при композиції з самим собою дає себе:

e = e o e

II - Цей нейтральний елемент єдиний.

Доведення:

Виходячи з аксіоми бутерброда, рівняння

a o y o b = c

має єдиний розв'язок y.

Це також справедливо, якщо b = c = a, отже

a o y o a = a

має єдиний розв'язок. Помножимо праворуч на y:

a o y o a o y = a o y

Позначимо a o y = e

...Це елемент множини, оскільки a і y належать до множини, а операція є внутрішньою. Отже, існує елемент множини, такий що:

e o e = e

...Теорема I доведена. Перейдемо до єдиності, теореми II. Якби вона не була єдиною, існував би інший елемент множини, позначимо його f, який задовольняв би:

f o f = f

Маємо:

e o e = e

Помножимо праворуч на f:

e o e o f = e o f

Знову помножимо праворуч на e:

e o e o f o e = e o f o e

Використовуючи асоціативність:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Це два бутерброда. Позначимо їх:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...За аксіомою бутерброда ми можемо "вийняти м’ясо", тобто обчислити вирази ( e o f ) і f, які будуть рівними, оскільки p = q. Отже:

( e o f ) = f

...Повторимо, починаючи з припущення, що стосується другого елемента f:

f o f = f

...Помножимо праворуч на e, двічі ліворуч:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Використовуючи асоціативність:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Використовуючи аксіому бутерброда вдруге, випливає:

e o f = e

отже:

e = f

Теорема III: Якщо я візьму цей елемент e, "однаковий зі своїм квадратом", він випливає, що

a o e = a

Доведення:

Ми завжди використовуємо аксіому бутерброда. Починаємо з визначення e:

e o e = e

Помножимо праворуч послідовно на a і на e:

e o e o a o e = e o a o e

Використовуємо асоціативність.

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Отже:

e o a = a

Повернемося до:

e o e = e

і помножимо ліворуч послідовно на a і на e:

e o a o e o e = e o a o e

і використовуємо асоціативність.

e o ( a o e ) o e = e o a o e

отже:

a o e = a

Теорема III доведена.

Перейдемо до теореми IV

(існування оберненого, позначено a-1).

Формулювання: нехай є елемент множини. Існує єдиний елемент, розв'язок рівняння:

a o y o a = a

Ми позначимо цей елемент a-1 і назвемо його оберненим до a. Цей елемент задовольняє властивості:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

Доведення.

Існування і єдиність цього елемента — простий наслідок аксіоми бутерброда, коли вона формулюється так:

Коли хлібні тістечка однакові між собою і однакові з бутербродом, то м’ясо є оберненим до хлібного тістечка (або бутерброда).

a o y o a = a

Ми можемо застосувати асоціативність двома способами:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Оскільки ми знаємо, що:

e o a = a

a o e = a

Отже, розв'язок y задовольняє:

a o y = e

y o a = e

Покажемо, що цей розв'язок єдиний. Якби він не був єдиним, існував би інший

a o z = e

z o a = e

Помножимо перше рівняння зліва на y.

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

але y o a = e, отже:

z = y

Цей розв'язок ми називаємо a-1, розв'язком єдиного рівняння:

a o a-1 o a = a

Таким чином, нова система аксіом призводить до тих самих властивостей, які класично визначають групи.

Отже, можна визначити групи за допомогою цієї нової системи аксіом:

Визначення групи.

1 - Існують елементи a, b, c... належать до множини E

2 - Існує внутрішня операція, позначена o ("круг"), що дозволяє поєднувати два елементи множини.

a належить до множини E

b належить до множини E

a o b належить до множини E

3 - Ця операція є асоціативною:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Нехай три елементи a, b, c належать до множини E.

Розглянемо рівняння:

a o y o b = c

Воно має єдиний розв'язок.

Якщо елементи множини E, обладнаної своєю внутрішньою операцією композиції, задовольняють цим чотирьом аксіомам, я стверджую, що вони утворюють групу.

Теорема: Нейтральний елемент є своїм власним оберненим. Це нове визначення нейтрального елемента за допомогою однієї рівності породжує інший тип доведення цієї властивості.

e o e = e

Це визначення особливого елемента e. Але аксіома бутерброда робить цю рівність ідентичною властивості (а не визначенню) оберненого.

Інша теорема: обернений до оберненого дорівнює самому елементу:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a є оберненим до a-1. Отже, ця властивість.

Покажемо, що:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

Обчислимо:

a o b o b-1 o a-1 і b-1 o a-1 o a o b

Покажемо, що ці дві величини дорівнюють e.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

Те саме для іншого виразу.

• Це інший підхід до поняття групи.

• Онтологія груп.

• Якщо хочеш.

• Але щось мені підказує, що цей метод може виявитися плідним.

• Тепер забудь про все, навіть про аксіому бутерброда. Розгляньмо множину E з внутрішньою асоціативною операцією o. Припустимо, що в цій множині існує елемент, який при композиції з усіма іншими елементами виконує роль нейтрального:

a o e = e o a = a - Чи є він єдиним?

• Якщо він існує, він обов'язково єдиний, це можна довести.

• Ага, це правда.

• Я скажу, що два елементи a і b пов'язані співвідношенням оберненості, якщо

a o b = b o a = e

Якщо задано a, то b — це його обернений. Я стверджую, що якщо обмежити множину підмножиною елементів, що мають обернені, ця підмножина утворює групу. Це спосіб побудови груп. Іншими словами, ми вибираємо з множини елементи, що задовольняють цій властивості, і стверджую, що цього достатньо, щоб ствердити, що ця підмножина утворює групу.

Потрібно довести, що ця властивість є внутрішньою.

• Що ти маєш на увазі?

• Нехай два елементи a і a', що задовольняють цю властивість, тобто:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a має обернений b

a' має обернений b'. Вони, отже, належать до вказаної підмножини. Потрібно показати, що a o a' також має обернений.

Відкинемо ці "круги", які важкі.

a' o b' = e

Помножимо зліва на a і праворуч на b:

a a' b' b = a e b = a b = e

Отже:

(a a') (b' b) = e

Повернемося до:

b a = e

Помножимо зліва на b' і праворуч на a':

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

( b' b )( a a' ) = e

Отже, елемент, отриманий композицією a і a', що мають обернені, сам також має обернений.

• Залишається показати, що ця підмножина справді утворює групу.

• І для цього я покажу, що ця підмножина задовольняє аксіомі бутерброда, тобто:

a y b = c

має єдиний розв'язок y.

• Я розумію. Аксіоматично ти дієш навпаки, ніж раніше. Раніше ти мав аксіому бутерброда і довів, що це призводить до існування обернених. Тепер ти припускаєш, що всі елементи множини мають обернені, і намагаєшся, використовуючи цю властивість, відновити аксіому бутерброда.

• Найкращий спосіб показати, що рівняння має єдиний розв'язок — це побудувати його. Помножимо вищенаведене рівняння зліва на a-1 і праворуч на b-1.

a-1 a y b b-1 = a-1 c b-1

( a-1 a ) y ( b b-1 ) = a-1 c b-1

y = a-1 c b-1

• Отже, y дійсно є розв'язком рівняння:

a y b = c

Вводячи побудований розв'язок, маємо:

a ( a-1 c b-1 ) b = c

...Таким чином, ми припускаємо, що можна використовувати дужки, узагальнюючи асоціативність. Ми припустили (це одна з аксіом), що можна виділити два елементи в послідовності операцій

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

Потрібно показати, що дозволено включити три елементи між двома дужками. Але ми приймемо це без доведення.

Застосування:

...Розглянемо множину дійсних чисел із операцією множення x як композиції. Вона є внутрішньою, але це не група за новою системою аксіом. Справді, рівняння, що визначає елемент e:

e o e = e

має два розв'язки:

e = +1 і e = -1

...Розглянемо попередню побудову. Ми маємо множину (дійсні числа), операцію композиції, асоціативну (множення). Ця множина має нейтральний елемент 1, який не визначається як розв'язок

e o e = e

а як елемент, що при композиції з будь-яким іншим елементом множини (включаючи себе) повертає його, інакше кажучи, класичне визначення:

Для кожного a, що належить до множини E, справедливо:

e o a = a o e = a

Якщо виходити з класичного визначення оберненого:

a o a-1 = a-1 o a = e

...Ми показали, що підмножина елементів, що мають обернений, утворює групу. Отже, дійсні числа без нуля утворюють групу.

Розглянемо квадратні матриці розміром (n,n). Вони мають нейтральний елемент:

з нулями поза головною діагоналлю, заповненою "1"

Матриці обернені утворюють групу, яку називають Лінійною групою GL(n).

• Мені подобається все це.

• Хм... це лише варіант класичної аксіоматики. Я представив це на конференції з епістемології в Греноблі, минулого тижня.

ДОВГОДАЛЬШЕ