f5101 Аналітичне зображення поверхні Боя Ж.П. Петі та Ж. Суріо .
**...**Нижче наведено відтворення доповіді, опублікованої в «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris», підписаної Ж.П. Петі та Ж. Суріо, датованої 1981 роком.
**...**Ця робота має свою історію. Доти, поки у 1985 році не вийшов мій альбом «Topologicon» видавництва Belin, у серії «Пригоди Ансельма Лантурлу», зображення поверхні Боя в наукових працях були дуже рідкісними. Тут і там можна було знайти фотографії моделей, виготовлених або з глини, або з пташиного сітка. Чарльз Пю, з математичного факультету університету Берклі, є незаперечним світовим експертом у цій галузі. Саме з цього матеріалу він отримав важливу фінансову премію, виготовивши макети, що описували перекидання сфери за Бернардом Моріном, які потім були цифровані Нельсоном Маком і перетворені на фільм, що тепер є у всіх математичних кафедрах світу.
**...**Але мені здається, що пташине сітко — це досить незначний матеріал, особливо для таких високих наукових тем. Після того як я познайомився з художником-скульптором Максом Созе, я навчився техніці роботи з мідним дротом — м'яким і водночас жорстким, який Макс зварював з вправністю, уникнувши надмірного нагрівання, щоб не створювати у матеріалі зайвих напружень.
**...**Мій друг Жак Булер, якого називали Васселіном, тоді був професором у Школі мистецтв Алье-ан-Прованс. Один рік він запропонував мені замінити одного з його колег, який відбувся за кордон, що я й зробив, працюючи наполовину учасником разом із Созе. Поки я вигадував предмети, Макс їх зварював. Наші студенти, навколо нас, зацікавлені, намагалися краще відтворити нашу роботу. У цей рік той фланг школи мистецтв у Алье-ан-Прованс перетворився на якесь підприємство з масового виробництва математичних поверхонь.
**...**Якщо хочете спробувати — це не складно. Вам потрібен котушка мідного дроту, наприклад діаметром 1,5 мм, максимум 2 мм, і кусачки. З цим ви зможете зобразити дві сім'ї кривих, що складають будь-яку поверхню.
**...**Проблема полягає в тому, щоб правильно виготовити ці об'єкти. Для цього корисно мати можливість рухати точки з'єднання, де перетинаються «меридіани» та «паралелі». Добре рішення — просто зв'язати два металеві дроти ниткою. Це достатньо міцно, щоб об'єкт тримав форму, але достатньо гладко, щоб дозволити деформації та налагодження.
**...**Тільки коли ви вважатимете, що об'єкт математично відповідає вашим бажанням, ви можете передати його комусь, хто вміє зварювати срібним припоєм з вправністю і зможе зварити, не нагріваючи стержні — як це робив Макс з бездоганною майстерністю.
**...**Одного разу я приніс прототип поверхні Боя, виявивши, як мають бути розташовані меридіани та паралелі. Здається, можна було зробити так, щоб меридіани нагадували еліпси.
**...**Макс уважно скопіював об'єкт. Потім я приїхав до Суріо. Його син (який ніколи не мав терпіння закінчити фізичний факультет) грав на комп’ютері Apple II. Я сказав:
— Жером, чи бажаєш ти мати публікацію з чистої математики під своїм ім’ям?
— Ну, чому ні? Хто треба вбити для цього?
— Нікого. Бачиш цей об’єкт. Візьми транспортир, виміряй ці еліпси і спробуй побудувати напівемпіричне зображення цієї поверхні.
— Можна спробувати, дай...
**...**Через два дні це було зроблено. Стаття швидко була прийнята до «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris» і опублікована під нашими іменами: Ж.П. Петі та Ж. Суріо.
**...**Але оскільки батько звався Жан-Марі, а син — Жером, усі математики переконані, що це робота, яку ми зробили разом — Суріо-батько і я.
**...**Креслення поверхні на комп’ютері за допомогою невеличкого програми BASIC з кількома рядками дуже здивувало багатьох математиків, які очікували щось набагато складніше. Ця справа мала неприємні наслідки. У Бернарда Моріна був аспірант, Апері, син Апері-батька, автора неймовірного теореми про те, що сума кубів цілих чисел є ірраціональним числом. Інше...
**...**Я цього не знав. Наше досягнення дуже турбувало Моріна, особливо тому, що я тоді наївно заявив, що цей метод дозволить описати поверхню з чотирма вухами, яка зробила його відомим, поверхню, яку було побудовано за допомогою пташиного сітка Пю, потім цифровано Максом і т.д.
Морін нахмурився:
— Ні, це неможливо!
**...**Це буде розглянуто пізніше. Я залишаюся переконаним у протилежному. Але цей вислів був дзеркальним до знаменитої фрази, яку Архімед сказав римському солдатові, що переривав його роздуми: «Noli tangere circuleos meos!»
На французькій: «Не торкайся моїх кіл!»
Тут було більше у стилі: «Не торкайся моїх еліпсів!»
**...**Потім Апері використав моє відкриття — можливість надати поверхні Боя систему еліптичних меридіанів — для побудови першої неявної рівняння цього об’єкта:
f(x, y, z) = 0
**...**Морін, засмучений тим, що я з’явився у його математичних працях як непокірний, примусив Апері вказати у дисертації, що саме Созе винайшов ідею еліпсів. Макс не заперечував, але це неправда. Доказ — у моєму підвалі: макет, який я приніс до Макса, щоб він його впорядкував.
**...**Нарешті, все це досить смішно. Ця історія наводиться для того, щоб показати, що математики не більш глибокі, ніж фізики.
**...**Політехнік Колонна, піонер у сфері комп’ютерної графіки, використав наші рівняння без згадки про їх походження. Але є цікавий нюанс: якщо ви побачите на екрані зображення поверхні Боя, і це «наше», то обов’язково будуть три легкі «згинальні лінії» біля полюса. Це помилка налагодження рівнянь. Жером, син Суріо, зробив це поспішно, і останній легкий вплив паяльника біля полюса був би корисним. Це все ще можливо для того, хто захоче.
**...**Історія поверхні Боя не закінчена. Для повноти згадаємо одного персонажа: Карло Бономі, італійського мільярдера. Я познайомився з ним під час експедиції у Трикутник Бермуд, але це інша історія. Ми тоді швидко рушили на його яхті, що була настільки розкішною, що від неї застигав дихання, у пошуках загубленої піраміди, про яку згадував Чарльз Берліц у своїй книзі. Ми не знайшли піраміди і майже стали жертвами багатьох акул, що населяли ці місця. Якщо ви маєте атлас, місце, де, за твердженням, повинна бути ця дратівлива «Атлантична піраміда», розташоване на південно-захід від рифу Кей-Сал-Балк, за 80 км на південь від Куби.
**...**Між двома зануреннями та двома вечерями з ікрою я запропонував Бономі спонсорувати масове виробництво поверхонь Боя. Йому подобалася ідея, і це мали бути наслідки. Скажемо, поверхня Боя, що оздоблює математичний зал Палацу Відкриттів у Парижі, була оплачена Бономі та виготовлена Созе. Фінансист мав намір організувати виставку, виготовляючи об’єкти з повноцінного золотого дроту. Але справа не мала продовження. Здивований тривалим мовчанням, я зателефонував до його офісу в Мілані. На жаль, увійшовши у скандал з ложею P2, він був ув’язнений, і його інтерес до топології постраждав безповоротно.
**...**Двобічне покриття поверхні Боя, що є зображенням проективної площини P2, — це сфера S2 (див. «Topologicon»). Пю побудував це покриття за допомогою двох шарів пташиного сітка — об’єкт усім вражаючий, хоча, як уже сказав, мені особисто більше подобається мідний дріт і зображення меридіанів-паралелей. Але навіть у чистій математиці:
— De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Перед тим як представити доповідь, остання історія. Отже, Пю зробив сім моделей з пташиного сітка, що принесло йому важливу премію, описуючи послідовні етапи перекидання сфери, про які мова буде, коли я знайду п’ять хвилин, щоб розмістити це на сайті, і які були звішані під стелею кафетерію математичного факультету університету Берклі.
**...**Математики з усього світу приїжджали як паломники, щоб захопитися цією чудовою послідовністю. Але одного разу моделі були вкрадені, і ніхто не знає, що сталося з цими семи об’єктами, які, до речі, були абсолютно непродажними. Хто б прийняв таку угоду? Можливо, багатий меценат, частково естет, частково математик, фінансував цю операцію, щоб зберігати їх у залізобетонному підвалі, втілюючи своє задоволення бути єдиним чоловіком, що може спостерігати цю восьму чудо світу, навіть якщо воно зроблене з пташиного сітка.
**...**Незважаючи на володіння матеріалом, Пю не мав мужності запустити нову серію.
**...**Як уже сказано на початку сайту, життя самого Вернера Боя залишається таємницею. Після того як він винайшов поверхню, якій він повинен був присвятити своє ім’я, він буквально зник після відходу з університету. Незважаючи на пошуки, Гільберт не зміг знайти його слідів, і навіть невідомо, де його поховали.
**...**Повернемося до математики. Нижче наведена доповідь досить легко читається. Використовуючи формули 1–8, будь-який розумний старшокласник зможе створити гарні зображення і перевірити, що перерізи відповідають малюнку 5.
C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 жовтня 1981) Série 1 - 269
ГЕОМЕТРІЯ. — Аналітичне зображення поверхні Боя. Доповідь Жан-П’єра Петі та Жерома Суріо, представлено Андре Ліхнеровичем.
Наводиться аналітичне зображення поверхні Боя, що дозволяє її побудувати.
1. ВСТУП.
**...**Поверхня, винайдена у 1901 році математиком Вернером Боя, учнем Гільберта, добре відома математикам. Вона може виступати як центральна стадія перекидання сфери (див. [1] та [2]).
**...**У 1979 році (Ж.П.П.) було зроблено макет з металевого дроту, що виявляв положення меридіанів поверхні. Друга робота, виконана у 1980 році разом із скульптором Максом Созе, дозволила відновити другий макет, де криві розташовувалися в площинах і нагадували еліпси. З такою моделлю здавалося можливим побудувати аналітичне зображення поверхні з топологією поверхні Боя, де меридіани — це еліпси, що проходять через один полюс.
2. ЯК ПОБУДУВАТИ ПОВЕРХНЮ БОЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ЕЛІПСІВ.
**...**Розмістимо полюс у початку координат. У цьому пункті поверхня буде дотичною до площини (XOY). Вона матиме вісь OZ як вісь тривіальної симетрії (див. малюнок 1). Меридіани — це еліпси, розташовані в площинах Pm. Нехай OX1 — це проекція площини Pm на площину XOY. Нехай m — кут між OX і OX1. У площині Pm розмістимо другу вісь OZ1, перпендикулярну до OX1. Позначимо a кут між OZ і OZ1.
Мал. 1 і Мал. 2
**...**Першим параметром цього аналітичного зображення буде кут m. Кут a розглядається як функція від m (буде визначена нижче). У площині Pm ми тепер малюємо еліпс, дотичний до OX1 у точці O (див. малюнок 2). Ми візьмемо осі цього еліпса паралельними бісектрисам кута X1OZ1. Позначимо A(m) та B(m) значення осей цього еліпса. Цей еліпс Em генерується другим вільним параметром q.
**...**Узагальнюючи, ми отримаємо координати X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) поточного пункту поверхні.
**...**У цьому напівемпіричному підході вимірювання, зроблені (Ж.С.) на макеті, дозволили наблизити функції a(m), A(m) та B(m). Поверхню потім побудовано на комп’ютері «Apple-II», і були отримані перерізи при Z = const. Дослідження цих перерізів дозволило встановити топологічну тотожність з поверхнею Боя. Це було досягнуто лише завдяки числовому експериментуванню (Ж.С.), що дозволило виключити пари зайвих особливостей (з’явлення пар кутових точок).
**...**Ми вирішили зберегти:
(1) A(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)
(2) B(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)
(3)
**...**У системі координат X1 O Z1 координати центра еліпса Em:
(4)
(5)
**...**У тій самій системі координат координати поточного пункту еліпса:
(6)
(7)
а координати x, y, z задаються формулами:
(8)
