f5101 Аналітичне зображення поверхні Боя Ж.П. Петі та Ж. Соріа .
** ...**Нижче наведено копіювання записки до Комптон-Рендус Академії наук Парижа, підписаної Ж.П. Петі та Ж. Соріа, датованої 1981 роком.
**...**Ця робота має історію. Доти, поки не вийшов мій альбом "Топологікон", виданий видавництвом Белін, у серії "Пригоди Ансельма Лантурлу", у 1985 році, зображення поверхні Боя у спеціалізованих виданнях були дуже рідкісними. Тут і там можна було знайти фотографії моделей, виготовлених з гіпсу або з сітки для птахів. Чарлз Пуг, з кафедри математики університету Берклі, є неперевершеним експертом у цій сфері. Саме з цим матеріалом він отримав важливий фінансовий приз, виготовляючи макети, що описують переворот кулі за Бернардом Моріном, які потім були цифровані Нелсоном Максом, щоб перетворитися в фільм, який поширився по усіх кафедрах математики світу.
**...**Але я вважаю, що сітка для птахів залишається дуже незначним матеріалом, особливо для таких високоякісних наукових тем. Знайомство з пластиком на ім'я Макс Созе дозволило мені ознайомитися з технікою мідного дроту, який одночасно гнучкий і жорсткий, який Макс злегкістю зварював, намагаючись не перегрівати його, щоб не викликати в матеріалі непередбачуваних напруг.
**...**Мій друг Жак Булер, якого звуть Васельєн, у той час був професором у Школі мистецтв Акс-ан-Превенс. Один рік він запропонував мені замінити одного зі своїх професорів, який відправився за кордон, що я й зробив, виконуючи півставки з Созе. Поки я вигадував об'єкти, Макс їх зварював. Наші студенти, навколо нас, зацікавлені, намагалися копіювати нас усіма засобами. Того року ця частина школи мистецтв у Акс-ан-Превенс перетворилася на дещо схоже на фабрику, що виробляє математичні поверхні.
**...**Якщо ви хочете почати, це не складно. Вам потрібен рулон такого мідного дроту, приблизно 1,5 мм діаметром, максимум 2, і кусачки. З цим ви зможете зобразити дві сім'ї кривих, що складають будь-яку поверхню.
**...**Проблема у тому, щоб правильно змоделювати ці об'єкти. Для цього добре було б змога рухати точками з'єднання, де "меридіани" і "паралелі" перетинаються. Добре рішення - просто зв'язати два металеві дроти ниткою. Це досить туже, щоб дати об'єкту міцність, але досить гладке, щоб дозволити деформації та налаштування.
**...**Це тільки тоді, коли ви вважаєте, що об'єкт математично відповідає вашим бажанням, ви можете передати його кому-небудь, хто вміє зварювати срібло з досконалістю і який зможе зварити, не нагріваючи стержні, що Макс зробив з виробничим мистецтвом.
**...**Одного дня я приніс прототип поверхні Боя, виявивши, як меридіани і паралелі мають бути розташовані. Здавалося, можна було зробити так, щоб меридіани нагадували схожі на сімейство еліпсів.
**...**Макс турботливо скопіював об'єкт. Тоді я прийшов до Соріа. Його син (який ніколи не мав терпіння закінчити фізичну ліцензію) гралися з Apple II свого батька. Я сказав:
-
Жером, чи бажаєш ти мати публікацію чистої математики під твоїм ім'ям?
-
Ну, чому б і ні? Хто має бути вбитий для цього?
-
Ніхто. Ти бачиш цей об'єкт. Візьми транспортир, виміряй ці еліпси і спробуй побудувати напівемпіричне зображення цієї поверхні.
-
Можна спробувати, дай...
**...**Два дні потому це було зроблено. Стаття швидко була прийнята до Комптон-Рендус Академії наук Парижа і опублікована під нашими іменами: Ж.П. Петі та Ж. Соріа
**...**Але оскільки батько називається Жан-Марі, а син Жером, усі математики переконані, що це робота, яку ми зробили разом, Соріа-батько і я.
**...**Креслення поверхні на комп'ютері, за допомогою невеликої програми BASIC з кількох рядків, здивувало багатьох математиків, які очікували щось більш складне. Це мали негативні наслідки. Математик Бернард Морін мав докторанта, Апері, сина Апері-батька, автора незабутнього теореми, згідно з якою сума кубів цілих чисел є ірраціональним числом. Інші ....
**...**Я цього не знав. Наша прогрес викликав великий страх у Моріна, особливо тому, що я тоді наївно заявив, що цей метод має дозволити описати поверхню з чотирма вухами, яка зробила його відомим, та яку було побудовано з його сіткою для птахів Пугом, потім цифровано Максом і т.д.
Морін нахмурився:
- Ні, це неможливо! ....
**...**Ми побачимо це пізніше. Я залишаюся переконаний у протилежному. Але це було відповіддю до відомої фрази, яку вигукнув Архімед римському солдату, який прийшов його турбувати у своїх роздумах - Noli tangere circuleos meos!
На французькому "не торкайся моїх кіл!"
Тут це було більше схоже на "не торкайся моїх еліпсів!"
**...**Потім Апері використав мій відкриття, згідно з яким можна надати поверхні Боя систему еліптичних меридіанів, щоб побудувати перше неявне рівняння об'єкта:
f (x,y,z ) = 0
**...**Морін, злобний на те, що я з'являюся як бурхливий у власних математичних роботах, наказав Апері зазначити у дисертації, що це Созе відкрив еліпси. Макс не заперечував, але це неправильно. Доказ у моєму підвалі: макет, який я приніс до Макса, щоб він його виправив.
**...**Нарешті, все це досить смішно, в загальному. Ця історія на те, щоб показати, що математики не більш яскраві, ніж фізики.
**...**Політехнік Колонна, піонер у сфері комп'ютерної графіки, використовував наші рівняння, не згадуючи їх походження. Але існує цікавий деталь, якщо ви бачите на екрані зображення поверхні Боя. Якщо це "наше", вона непомітно матиме три легкі "згинальні" місця біля її полюса. Помилка налаштування рівнянь. Жером, син Соріа, зробив це швидко, і останній легкий удар молотка біля полюса був би корисним. Це все ще можливо, звісно, для того, хто хоче.
**...**Ця історія про поверхню Боя не закінчена. Щоб бути повним, згадаємо персонажа: Карло Бономі, італійського мільярдера. Я познайомився з ним під час експедиції в трикутник Бермуд, (але це інша історія). Ми пливли швидко на його яхті, яка була розкішною, щоб відібрати піраміду, яка була вказана певним Чарльзом Берлітцом у одній з його книг. Ми не знайшли піраміди, і ми майже були з'їдені багатьма акулами, які мешкали цими місцями. Якщо у вас є атлас, місце, де ця "Атлантична піраміда" мала бути, знаходиться на південному заході від рифу, який називається Cay Sal Balk, на п'ятдесят миль на південь від Куби.
**...**Між двома зануреннями і двома обідами з ікрою, я запропонував Бономі спонсорувати інтенсивне виробництво поверхонь Боя. Ідея подобалася, і була подальша. Скажімо, поверхня Боя, що оздоблює зал математики Палацу Відкриття в Парижі, була оплачена Бономі і зроблена Созе. Фінансист планував зробити виставку, зробивши об'єкти з масивного золотого дроту. Але справа не мала продовження. Здивований довгим мовчанням, я зателефонував до його офісу в Мілані. На жаль, він був ввійшов у скандал з ложею P2, був затриманий, і його інтерес до топології страждав незворотно.
**...**Двостороннє покриття поверхні Боя, зображення проективної P2, є сфера S2 (див. "Топологікон"). Пуг побудував це покриття з двома шарами сітки для птахів, об'єкт, який у всьому вигляді дивовижний, хоча, як я сказав, я особисто більше люблю мідний дріт і представлення меридіанів-паралелей. Але навіть у чистій математиці:
- De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Перед тим, як представити записку, остання історія. Чарльз Пуг побудував сім моделей з сітки для птахів, що принесло йому важливий приз, описуючи послідовні етапи перевороту кулі, про які я згадаю, коли знайду п'ять хвилин, щоб розмістити це на сайті, і які були підвішені під стелею їдальні кафедри математики університету Берклі.
**...**Математики з усього світу приїжджали паломниками, щоб захопитися цією чудовою послідовністю. Але одного ночі моделі були зграблені, і ніхто не знає, що сталося з цими семи об'єктами, які, в іншому випадку, були абсолютно непродажними. Хто б прийняв таку угоду? Мабуть, багатий колекціонер, частково естет, частково математик, фінансував операцію, щоб зберігати їх у підвальному сейфі, щоб мати задоволення бути єдиним чоловіком, який може споглядати цю восьму чудо світу, навіть якщо вона виготовлена з сітки для птахів.
**...**Пуг, незважаючи на своє вміння працювати з матеріалом, не мав мужності відновити нову серію.
**...**Як ми вже сказали на початку сайту, життя самого Вернера Боя залишається таємницею. Після того, як він винайшов поверхню, якій він повинен був приписати своє ім'я, він буквально зник після виїзду з університету. Незважаючи на свої дослідження, Гільберт не зміг знайти його слід, і навіть не відомо, де його поховано.
**...**Повернемося до математики. Нижче наведена записка, відносно легко читається. З формул 1 до 8 будь-який учень, що прокинувся, зможе побудувати дуже красиві зображення і перевірити, що перерізи відповідають рисунку 5.
C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 жовтня 1981) Сірія 1 - 269
ГЕОМЕТРІЯ. - Аналітичне зображення поверхні Боя. Записка Жана-П'єра Петі та Жерома Соріа, представлена Андре Ліхнеровічем.
Наводиться аналітичне зображення поверхні Боя, що дозволяє намалювати її.
1. ВСТУП.
**...**Поверхня, винайдена в 1901 році математиком Вернером Боя, учнем Гільберта, добре відома математикам. Вона може виступати як центральна етап у перевороті кулі ( [1] і [2] ).
**...**У 1979 році (Ж.П.П) побудував макет з металевого дроту, що підкреслював положення, які повинні були зайняти меридіани поверхні. Друга робота, виконана в 1980 році разом зі скульптором Максом Созе, дозволила відновити другий макет, у якому криві розташовувалися в планах і здавалися досить схожими на еліпси. З такого макету здавалося можливим побудувати аналітичне зображення поверхні, що має топологію поверхні Боя, і меридіани якої є еліпси, що проходять через один полюс.
**2. ЯК ПОБУДУВАТИ ПОВЕРХНЮ БОЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ЕЛІПСІВ. **
**...**Розташуйте полюс на початку координат. У цій точці поверхня буде дотичною до площини (XOY). Отже, вона матиме вісь OZ як ось трьохвісної симетрії (див. малюнок 1). Меридіани є еліпси, розташовані в планах Pm. Нехай OX1 - це слід у площині XOY плану Pm. Назвемо m кут (OX, OX1). У цьому плані Pm розташуйте другу вісь OZ1, перпендикулярну OX1. Назвемо a кут (OZ, OZ1).
Мал.1 і Мал.2
**...**Перший параметр цього аналітичного представлення - це кут m. Ми будемо розглядати кут a як функцію m (яка буде визначена нижче). У плані Pm ми тепер намалюємо еліпс, дотичний до OX1 у точці O (див. малюнок 2). Ми візьмемо осі цього еліпса паралельними бісектрисам X1OZ1. Назвемо A(m) і B(m) значення осей цього еліпса. Цей еліпс Em буде згенерований другим вільним параметром q .
**...**У короткому викладі, ми отримаємо координати X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) точки поверхні.
**...**У цьому напівемпіричному підході, виміри, зроблені (Ж.С.) на макеті, дозволили наблизити функції a(m), A(m) і B(m). Поверхня була намальована комп'ютером "Apple-II", і отримано перерізи при Z = Cte, дослідження цих перерізів дозволило визначити топологічну ідентичність з поверхнею Боя. Це можна було отримати лише за рахунок чисельної експериментальної роботи (Ж.С.), що дозволило вилучити пари паразитних особливостей (з'явлення пар точок з остриною).
**...**Ми вирішили зберегти: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)
(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)
(3)
**...**У системі X1 O Z1 координати центру еліпса Em є: (4)
(5)
**...**У цій же системі координати точки еліпса є (6)
(7)
і координати x, y, z задаються:
(8)