Астрофізика і системи з N тілами
Проект Epistémotron 1
Загальні відомості про задачу з N тіл. Деякі поняття кінетичної теорії газів
Астрофізика, за принципом, є наукою, метою якої є зрозуміти явища, що відбуваються в космосі на різних масштабах. Наприклад, як утворився Сонячна система — це досить захоплююча робота, яка ніколи раніше не виконувалася. Це буде однією з цілей проекту Epistémotron, і ці дослідження конкретизують теорію, розроблену математиком Жан-Марі Суро. На більш великому масштабі ми маємо динаміку галактик, яка досі є повністю нерозгаданою. У нас немає жодної моделі галактики. Ми не знаємо, як утворюються ці об'єкти, як вони еволюціонують. З чисто теоретичної точки зору ці «системи з N тіл, самогравітуючі» описуються системою диференціальних рівнянь (Власова та Пуассона). Досі ці підходи (які навіть не знають сучасні «теоретики») стикалися з непреодоленними преградами.
Рішення, на наш погляд, полягає в новому погляді на Всесвіт, що має подвійну природу. Цікавий читач знайде вступ до цієї теми у дослідницькому матеріалі, який знаходиться на моєму сайті протягом багатьох років. Насправді це означає, що Всесвіт має дві складові:
- Частинки з позитивною енергією, наші
- Частинки з негативною енергією, подвійні.
Оскільки E = mc², частинки з негативною енергією поводяться, ніби мають негативну масу. Отже, ми отримуємо таку динамічну схему:
- Дві позитивні маси притягуються за законом Ньютона
- Дві негативні маси притягуються за законом Ньютона
- Дві маси протилежних знаків відштовхуються за «антиньютонівським» законом.
Чому ми не бачимо оптично частинки з негативною енергією? Тому що взаємодія між двома частинками з протилежними енергіями через електромагнітну взаємодію просто неможлива. Як недавно показав молодий та талановитий дослідник, ці дві частинки, за квантовою теорією поля, якщо взаємодіють, повинні обмінюватися «віртуальними частинками» або «носіями», які є фотонами з позитивною та негативною енергією. Забезпечення всіх можливих взаємодій через інтеграл шляхів Фейнмана в цьому випадку дає результат, що дорівнює нулю. Отже, взаємодія просто неможлива, і подвійні частинки залишаються для нас непомітними. Вони можуть проходити крізь нас без взаємодії, крім гравітації (або, точніше, антигравітації). Ця ідея є ключем до вирішення великих проблем сучасної астрофізики та космології (проблема відсутності маси, криві обертання галактик, утворення галактик, походження великомасштабної структури Всесвіту). Читач знайде спрощене пояснення цих ідей у моїй книзі, що вийшла в 1997 році:
Загальні відомості, зокрема про гравітаційну нестійкість, можна знайти у моїй коміксі «Тисяча мільярдів Сонць», яка є на CD-ROM «Lanturlu1» у форматі pdf, друкується (можна придбати 18 коміксів, надіславши 16 євро на адресу J.P.PETIT, у відповідь на Jacques Legalland, Lou Garagai, 13770 Venelles).
У космосі, окрім гравітації, працюють і інші механізми. Але у всьому, що йде далі, ми зосередимося лише на цьому одному механізмі, не враховуючи радіаційних обмінів і енергії, що виробляється за рахунок термоядерного синтезу. Ми будемо досліджувати «системи з N тіл», самогравітуючі, що знаходяться в своєму власному гравітаційному полі. Щоб дослідити поведінку такої системи, потрібно, крок за кроком, вивчити переміщення кожного «точкового тіла» (з позитивною або негативною масою), обчисливши векторну суму всіх гравітаційних сил притягання та відштовхування, що виникають від N-1 інших частинок. Час обчислень, таким чином, зростає пропорційно N(N-1) або N², коли N велике, що завжди є випадком.
У планетарних або протопланетних системах кількість об’єктів досить мала і може бути оброблена одним домашнім комп’ютером. Це не так у випадку галактики. Наша галактика складається з сотні або двох сотень мільярдів зірок, які можна вважати точковими масами. Ця маса зірок може бути вважана газом, молекули якого — самі зірки, які є простими точковими масами. Щоб максимально наблизитися до «реальності», потрібно використовувати якнайбільшу кількість точкових мас. Ці методи були впроваджені ще в кінці 60-х років. На жаль, швидкість комп’ютерів та їх обчислювальна потужність зростали з роками. Я мав можливість провести обчислення на початку 90-х років на великому комп’ютері, який у центрі Німеччини DAISY (прискорювач частинок) обробляв дані експериментів. У той час така машина, яка вважалася дуже потужною, могла обробляти 5000 точкових мас. Читач знайде в наведеній вище книзі основні результати, отримані під час цього числового експерименту.
Виявляється, що за 12 років інформатика зробила такі кроки, що ці проблеми тепер можна розв’язувати на домашніх машинах завдяки значному зростанню їх швидкості обчислень (годинник у 2 гігагерцах) та об’єму оперативної пам’яті. Тому, як Олів’є Льо Ру, можна відновити деякі ключові, прості аспекти, такі як механізм гравітаційної нестійкості, програмуючи в C++ власну машину. Коли я, втомившись, повністю відмовився від астрофізики в 2001 році, ці індивідуальні ініціативи змусили мене спробувати запустити дослідження, засновані на діях... любителів. Справді, протягом 12 років, як зазначав академік і астрофізик Жан-Клод Пекер після моєї лекції 25 лютого в Коледжі Франції, дивно і жаль, що команди, які мають відповідні засоби, не відновили цю ідею, продовжуючи досить жалюгідно працювати з «холодною темною матерією».
Тому я вважаю себе зобов’язаним надати всім цим людям, які хочуть діяти, усі необхідні елементи, щоб вони могли рухатися далі. Багато обчислень можна здійснити на одному комп’ютері з кількістю точок менше 2000–5000. Це обмежує роботу двовимірними симуляціями. У 3D не можна розглядати кілька тисяч точок як «газ». Поза цим відкривається фантастичний проект: залучити N комп’ютерів, використовуючи техніку «поділеного обчислення». Це тоді складна задача розробки, чисто інформатична.
Управління задачею з N тіл.
У нас є точкові маси та початкові умови, які зводяться до шести чисел у 3D (три координати положення та три компоненти швидкості) і до чотирьох у двовимірному просторі (дві координати положення та дві компоненти швидкості). Нам потрібно також визначити обчислювальний простір та встановити граничні умови (комп’ютер не може обробляти нескінченний простір). Потім нам потрібно оптимально встановити інтервал обчислень, часовий крок Dt. Почнемо з дуже схематичного погляду. Уявімо собі двовимірний, нескінченний обчислювальний простір. Що математики називають R². У цьому просторі ми розміщуємо N точок із початковими положеннями та швидкостями. Візьмемо одну з частинок (позначеною чорним) і обчислимо результуючу (Fx, Fy, Fz) сил, що діють на неї з боку N-1 інших частинок. Потім ми обчислимо нове положення та нову швидкість цієї частинки за допомогою розкладу Тейлора.
Виникає безпосереднє питання: як обрати часовий крок Dt? Розуміння просте. Ми не можемо одночасно обробляти переміщення N частинок. Ми змушені «заморозити» гравітаційне поле на цей час Dt. Зробимо крок обчислення та побудуємо траєкторії частинок у цьому «замороженому» полі, використовуючи розклад Тейлора вище. Їхній рух зрештою змінить локальну розподіл поле. Обчислення буде коректним, якщо поле «не зміниться занадто сильно». На око розподіл мас не повинен «змінитися занадто сильно» протягом цього часу Dt. Наведемо 2D-образ. Уявіть, що ви розміщуєте свинцеві кульки на м’якій підкладці. Вони викличуть деформацію поверхні. Накопичення кульок створить локальну вирівнювання. Ми маємо матеріальне представлення гравітаційного поля у вигляді поверхні. Це також гарна навчальна ілюстрація системи «самогравітуючої», оскільки кульки рухаються по поверхні, яку вони самі формують.
Аналогічне обчислення полягає в тому, щоб створити іншу «карту», обчисливши переміщення всіх кульок на цій м’якій підкладці, яку вважаємо замороженою та жорсткою. Ми отримуємо інший розподіл кульок, який ми потім накладаємо на іншу м’яку підкладку, іншого типу. Вона тоді вирівнюється. Ми вважаємо, що крок обчислення є достатньо малим, якщо загалом поверхні є близькими.
Зауважимо, що ми застосували б такий самий критерій, якщо б розглядали сукупність з 5 зірок, що утворюють міні-кластер, пов’язані гравітацією. У момент t вони створюють гравітаційне поле g(r, t). Ми можемо обчислити переміщення кожної з них протягом часу і перерахувати це саме поле g'(r + Dt). Обчислення буде коректним, якщо протягом цього інтервалу часу обидва поля є «достатньо близькими».
Звичайно, чим менший крок, тим швидше обчислення, але тим більша помилка. У наступному ми будемо цікавитися еволюцією систем, де N велике, і навіть найбільше можливе. Мінімум кілька тисяч точкових мас. Коли стане можливим працювати в «поділеному обчисленні»: кілька мільйонів точкових мас (що відкриє нам шлях до реального 3D). Немає сумніву, що це має бути досягнуто: здатність керувати цим набором точкових мас як газом частинок. Ця ідея здається нам інтуїтивною, якщо мова йде про газ міжзоряного простору. Але це також стосується всієї сукупності зірок, що утворюють галактику. У нашій галактиці їх сто або двісті мільярдів. У еліптичної галактики — в десять разів більше. За нашим відчуттям наша галактика здається дуже розрідженою. Відстані між найближчими зірками становлять роки світла. Але це дуже мала відстань у масштабі галактики, діаметр якої становить близько ста тисяч років світла. Сто років світла становить тисячну частину діаметра галактики. Але такий об’єм містить велику кількість зірок. У масштабі ста років світла галактика виглядає як газоподібна маса. Колись, коли ми мали лише математичні інструменти, ми намагалися описувати ці об’єкти за допомогою неперервних функцій.
Природна еволюція системи з N тіл.
Наразі у нас є обчислювальний простір... безмежний. Уявімо, щоб закріпити ідею, що ми знаходимося в 2D. Ви зможете візуалізувати стан системи на екрані. Якщо ви хочете одночасно мати інформацію про положення та швидкість, ви можете, наприклад, зобразити точкові маси чорними п