cosmologie de l'univers jumeau astrophysique matière-matière fantôme. 1. Cadre géométrique. L'ère de la matière et l'approximation newtonienne. (p4)
3) Scénario typique de l'évolution matière-matière fantôme :
...Nous pouvons exprimer cela à l'aide de grandeurs dimensionnelles R, R*, t, r, r*. T et T* sont les températures (et non les temps caractéristiques T et T*). Voir la figure 3.
.
**Fig. 3 ** :L'évolution des paramètres d'échelle de l'univers et de l'univers fantôme.
...Comme évoqué dans l'article précédent, cela élargit l'âge estimé de notre univers, basé sur la mesure de la constante de Hubble. La matière fantôme joue le rôle d'une « constante cosmologique », car elle donne une accélération positive R" dans notre pli.
...Comme nous pouvons le voir, le système n'est pas symétrique. Un univers (supposé être le nôtre) s'étend plus rapidement. Dans l'univers de matière, la constante de Hubble est Ho. Mais nous obtenons une valeur différente Ho dans l'univers fantôme (qui ne peut pas être mesurée, car nous ne pouvons pas l'observer optiquement). Dans cette évolution couplée des deux mondes, le monde de matière et le monde de matière fantôme, il existe deux étapes. Pendant la phase radiative, nous avons supposé que les facteurs d'échelle R(t) et R(t) seraient « initialement égaux ». Même hypothèse pour les deux températures du rayonnement Tr et Tr. Mais ce ne sont que des hypothèses. En conséquence, la densité rm et la température Tm* deviennent ultérieurement plus élevées dans l'univers fantôme (dans le pli jumeau F*). Nous utiliserons ce résultat dans un article futur consacré aux très grandes structures.
4) La loi de Newton et l'équation de Poisson.
...Remarquons ceci. En relativité générale classique, la loi de Newton et l'équation de Poisson peuvent être déduites des équations du champ, mais uniquement à travers des solutions d'état stationnaire (ordre zéro plus un terme de perturbation).
...À partir de nos équations de champ (24) et (25), nous pouvons envisager une solution lorentzienne stationnaire et ajouter à la métrique certains termes de perturbation :
(38)
(39) Écrivons les systèmes géodésiques :
(40)
(41)
Dans les conditions de faibles vitesses :
(42)
(43)
Avec w et (w - w*) << 1 (courbure faible), les équations de champ donnent :
(44)
(45)
D'où
(46)
En introduisant le potentiel gravitationnel adimensionnel :
(47)
on obtient l'équation de Poisson, écrite dans le système {z i} :
(48)
où
(49)
De même, dans le pli F :
(50)
dans le pli F* (51)
ce qui correspond à la loi de Newton, et justifie notre hypothèse initiale sur la dynamique des deux plis. Toutes les masses sont positives. Une particule-test m = +1, située dans le pli F, donne un potentiel gravitationnel :
(52)
Dans le pli F, la loi de Newton donne :
(53)
c’est-à-dire une force d’attraction. À l’inverse, elle repousse une particule-test située dans le pli F*. Cela justifie notre hypothèse initiale :
-
m et m' (toutes deux situées dans le pli F) s’attirent mutuellement, selon la loi de Newton.
-
m* et m*' (toutes deux situées dans le pli F) s’attirent mutuellement, selon la loi de Newton.
-
m et m* se repoussent mutuellement, selon une « loi anti-Newton ».
...Toutes les équations peuvent être exprimées dans n'importe quel système de coordonnées, avec l'ensemble correspondant de constantes. La loi de Newton donne :
(54)
Avec :
(55)
(56)
...De même, toutes les équations ou systèmes d'équations peuvent être formulés dans un système donné de coordonnées, avec des valeurs adéquates des constantes de la physique. Par exemple :
(57)
donne :
(58)
avec :
(59)
on obtient l'équation de Poisson, sous une forme plus familière :
(60) ΔY = 4πG (ρ - ρ*)
qui peut être formulée de manière similaire dans le deuxième système de coordonnées, avec des expressions différentes pour le laplacien, les densités de masse et la valeur de la constante gravitationnelle. Avec la condition de compatibilité :
(70)
Nous prenons G = G* (comme nous prenons c = c*). Nous obtenons des équations invariantes par changement de coordonnées :
(71)
S = c ( T - T*)
(72) S* = c ( T* - T)
** ** La matière et la matière fantôme s'attirent elles-mêmes, mais se repoussent mutuellement.
** ** 
Version originale (anglais)
twin universe cosmology Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. (p4)
3) Typical scenario of matter ghost matter evolution :
...We can express this with dimensional quantities R , R* , t , r , r* . T and T* are the temperatures (not the characteristic times T and T*). See figure 3.
.
**Fig. 3 ** :The evolution of the scale parameters of the universe and ghost universe.
...As evoked in the precedent paper this enlarges the estimated age of our universe, base on the Hubble constant measurement. The ghost matter plays the role of a "cosmological constant", for it gives a positive acceleration R" in our fold.
...As we can see, the system is not symmetrical. One universe (supposed to be ours) expands faster. In the universe of matter the Hubble constant is Ho. But we get a different one Ho in the ghost universe
(that cannot be measured, for we cannot observe it optically). In this coupled evolutions of the two world, the world of matter and the ghost matter world, there are two stages. During the radiative stage, we have assumed that the scale factors R(t) and R(t) would be "initially equal". Same assumption for the two radiation temperatures Tr and Tr . But these are only assumptions. As a consequence the density rm and the temperature Tm* later become higher in the ghost universe, (in the twin fold F*). We will use it for a future paper, devoted to Very Large Structure.
4) The Newton law and the Poisson equation.
...Let us point out something. In classical General Relativity the Newton law and the Poisson equation can be derived from the field equation, but only through steady state solution (zeroth order plus a perturbation term).
...From our field equations (24) and (25) we may consider a steady Lorentzian solution and add to the metrics some perturbation terms :
(38)
(39) Write the geodesic systems :
(40)
(41)
With low velocities conditions :
(42)
(43)
With w and (w - w*) << 1 (small curvature) the field equations give :
(44)
(45)
Whence
(46)
Introducing the adimensional gravitational potential :
(47)
we get the Poisson equation, written in the system {z i} :
(48)
where
(49)
Similarly, in fold F :
(50)
in fold F* (51)
which corresponds to the Newton law, and justifies our initial assumption about the dynamics of the two folds. All masses are positive. A m = +1 test particle, located in the fold F, gives a gravitational potential :
(52)
In the fold F the Newton law gives :
(53)
i.e. an attractive force. Conversely it repels a test particle located in the fold F*. It justifies our initial assumption :
-
m and m (both located in the fold F) mutually attract, through Newtons law.
-
m* and m* (both located in the fold F) mutually attract, through Newtons law.
-
m and m* repel each other, trough an "anti-Newtons law".
...All equations can be expressed in any system of coordinates, with the subsequent set of constants. The Newton law gives :
(54)
With :
(55)
(56)
...Similarly, all equation or systems of equations can be phrased in a given set of coordinates, with adequate values of the constants of physics. For an example :
(57)
gives :
(58)
with :
(59)
we get the Poisson equation, in a more familiar form :
(60) D Y = 4 p G ( r - r*)
that can be phrased in a similar way in the second set of coordinates too, with different expressions for Laplacian, mass-densities and gravitational constants value. With the compatibility condition :
(70)
We take G = G* (as we take c = c*). We get the coordinate-invariant equations :
(71)
S = c ( T - T*)
(72) S* = c ( T* - T)
Matter and ghost matter are self-attractive, but repel each other.
** **