космологія всесвітів-близнеців Матерія, материя-привид, астрофізика. 2: Спряжені метрики стаціонарного стану. Точні розв’язки. (с. 4)
3) Спряжені скалярні кривини.
З системи загальних польових рівнянь (1) + (2) отримуємо:
(58)
R* = - R
У двох спряжених точках M та M*, що належать відповідно до складок F та F*, скалярні кривини R та R* є протилежними. Ми називатимемо спряженими геометріями ті, які задовольняють цю властивість. Ми можемо спробувати ілюструвати це поняття за допомогою дидактичного зображення. Розгляньте рисунок 1: угорі — «позитивний конус» (позикон) із гладкою поверхнею; унизу — «негативний конус» (негакон) із гладкою поверхнею, розташовані навпроти один одного. Гладкий позикон побудований із зрізаного конуса, з’єднаного вздовж кола з частиною сфери (поверхнею з сталою щільністю кутової кривини).
Рис. 1: Дидактичне зображення спряжених геометрій (R = –R).* Маса M знаходиться у складці F. Складка F порожня.*
Показано: пара спряжених точок (M, M*).
Сідло (гіперболічний параболоїд) є еквівалентом частини сфери для від’ємної кривини (поверхнею з сталою щільністю кутової кривини). Сфера містить повну кривину, що дорівнює 4π. Частина сфери містить кількість кутової кривини q, визначену формулою:
(59)
Конус — це поверхня, що містить точку зосередженої кутової кривини S, що відповідає додатній кутовій кривині q > 0. Ми побудуємо його згідно з рисунком 2.
Рис. 2: Побудова «позикона».
Визначення кутової кривини, що міститься у вершині конуса: Якщо провести трикутник, утворений трьома геодезичними, виникають два випадки. Якщо він не містить вершину, сума кутів дорівнює евклідовій сумі π. Якщо він містить вершину, ця сума дорівнює π плюс відповідна точкова кривина q. Див. рисунок 3.
Рис. 3: Точкова додатня кутова кривина
розташована у вершині (позитивного) конуса.
Так само ми можемо побудувати «негакон», як показано нижче:
Рис. 4: Побудова «негакона» з точковою від’ємною кутовою кривиною, розташованою у точці S.
Ми можемо зібрати набір малих позиконів, що відповідають елементарним кривинам dqi, і склеїти їх між собою. Див. рисунок 5.
Рис. 5: Набір елементарних позиконів.
Кутова кривина є адитивною величиною. Якщо кількість елементів прямує до нескінченності, а dqi прямує до нуля, цілісний об’єкт прямує до обмеженої правильної поверхні. На будь-якій частині цієї поверхні ми можемо виміряти кутову кривину (суму кутів dqi). Ми також можемо визначити локальну щільність кутової кривини наступним чином:
(60)
Таким чином, цей набір склеєних елементарних позиконів прямує до правильної поверхні, що має дотичну площину. Якщо C(M) є сталою і додатною на поверхні, то ця поверхня є сферою або частиною сфери. Інтеграл щільності кутової кривини по поверхні сфери дає її повну кривину, що дорівнює 4π. Якщо C(M) дорівнює нулю, поверхня локально плоска (площина, стінка конуса, циліндр, наприклад).
Оригінальна версія (англійська)
космологія всесвітів-близнеців Матерія, материя-привид, астрофізика. 2: Спряжені метрики стаціонарного стану. Точні розв’язки. (с. 4)
3) Спряжені скалярні кривини.
З системи загальних польових рівнянь (1) + (2) отримуємо:
(58)
R* = - R
У двох спряжених точках M та M*, що належать складкам F та F*, скалярні кривини R та R* є протилежними. Ми називатимемо такі геометрії спряженими. Ми можемо спробувати ілюструвати це поняття за допомогою дидактичного зображення. Розгляньте рисунок 1. Угорі — «позикон» із гладкою поверхнею, унизу — «негакон» із гладкою поверхнею, розташовані навпроти один одного. Гладкий позикон побудований із зрізаного конуса, з’єднаного вздовж кола з частиною сфери (поверхнею з сталою щільністю кривини).
Рис. 1: Дидактичне зображення спряжених геометрій (R = –R).* Маса M знаходиться у складці F. Складка F порожня.*
Показано: пара спряжених точок (M, M*).
Сідло є еквівалентом частини сфери для від’ємної кривини (поверхнею з сталою щільністю кутової кривини). Сфера містить повну кривину, що дорівнює 4π. Частина сфери містить кількість кутової кривини q, яка дорівнює (59)
Конус — це поверхня, що містить точку зосередженої (кутової) кривини S, що відповідає додатній кутовій кривині q > 0. Ми побудуємо його згідно з рисунком 2.
Рис. 2: Побудова «позикона».
Визначення кутової кривини, що міститься у вершині конуса: Якщо провести трикутник, утворений трьома геодезичними, виникають два випадки. Якщо він не містить вершину, сума кутів дорівнює евклідовій сумі π. Якщо він містить вершину, ця сума дорівнює π плюс відповідна точкова кривина q. Див. рисунок 3.
Рис. 3: Точкова додатня кутова кривина
розташована у вершині (позитивного) конуса.
Так само ми можемо побудувати «негакон», як показано нижче:
Рис. 4: Побудова «негакона» з точковою від’ємною кривиною, розташованою у точці S.
Ми можемо зібрати набір малих позиконів, що відповідають елементарним кривинам dqi, і склеїти ці об’єкти між собою. Див. рисунок 5.
Рис. 5: Набір елементарних позиконів.
Кутова кривина є адитивною величиною. Якщо кількість елементів прямує до нескінченності, а dqi прямує до нуля, цілісний об’єкт прямує до обмеженої правильної поверхні. На будь-якій частині поверхні ми можемо виміряти кутову кривину (суму кутів dqi). Ми також можемо визначити локальну щільність кутової кривини наступним чином:
(60)
Таким чином, цей набір склеєних елементарних позиконів прямує до правильної поверхні, що має дотичну площину. Якщо C(M) є сталою і додатною на поверхні, то це сфера або частина сфери. Інтеграл щільності кутової кривини по поверхні сфери дає її повну кривину 4π. Якщо C(M) дорівнює нулю, поверхня локально плоска (площина, стінка конуса, циліндр, наприклад).