групи та фізична дія супряжених груп імпульсів
| 4 |
|---|
...Зауважимо на ходу, що запропонована дитині система не є бездоганною. Вона працює правильно лише тоді, коли об’єкти, які надаються, є тими, що були продані разом із самим ігровим набором. Зауважимо, що відділення "циліндри" дозволяє вводити циліндри однакового радіуса, але різної довжини, а також скріпки, соску, ключ від шафи тощо...
...Логічно, дитина, яка проходить через цей навчальний процес груп, зможе зробити висновок, що ключ від шафи і циліндр — це об’єкти однієї й тієї ж природи. Це правда в тому сенсі, що ці об’єкти мають спільну властивість "входить у це отвір".
...Моя дочка, коли була набагато молодшою, провела дуже цікаві дослідження груп, використовуючи як вхідне вікно, як сітку, вхід до дисководу мого комп’ютера. Щоб відновити її хід мислення, довелося повністю розбирати пристрій після відключення. Усе це, зрештою, було логічним. Зараз вона досі захоплена групами. Але це вже інші групи, і такі вибори мене не задовольняють.
...Повернемося до нашої дитини з попереднього абзацу. Через кілька місяців ви введете цього самого хлопчика в групу Галілея, кидаючи йому різні предмети і закликаючи його їх хапати. Тепер форма предметів не має значення, важливі їхні рухи. Ми змінюємо групу. Для малюка предмет (достатньо малий, щоб його можна було вхопити) стає еквівалентним його центру маси. Це "точкове тіло", "матеріальна точка". Група Галілея керує динамікою матеріальних точок.
Класифікація відбувається за типами руху.
-
Це я можу вхопити.
-
Це я не можу вхопити.
...Оцінюючи початкові умови — положення та вектор швидкості — на око, малюк повинен визначити тип руху, з яким він стикається, і передбачити.
...Ставши дорослим, він може грати в теніс, постійно використовуючи групу Галілея, яка, як і група Евкліда, є квадратною матрицею. Оскільки м'ячі для тенісу рухаються зі швидкостями, які явно менші за швидкість світла, йому не потрібно звертатися до групи Пуанкаре (ще однієї квадратної матриці, яка керує релятивістськими рухами матеріальних точок).
...Однак матеріальні точки, які керуються групою Галілея, більше не є точками групи Евкліда — вони мають атрибути. Спеціаліст з математичної фізики, який працює з групою Галілея, більше не говорить про матеріальні точки, а про рухи. Те, що він намагається класифікувати, — це рухи. Тут виникає ключовий аспект фізики елементарних частинок: ми намагаємося пов’язати з ними феноменологічне описання:
Скажи мені, як ти рухаєшся, я скажу тобі, хто ти є.
...Ми більше не питаємося, "з чого складається частинка", а як вона поводиться. Наприклад, нейтральні частинки не поводяться так само, як заряджені електрично частинки. Вони належать до різних видів. Вони мають різні атрибути.
...Наша дитина, ставши фізиком високих енергій, може щодня аналізувати знімки, зроблені в камері зі слідом.
Знімки, отримані за допомогою камери зі слідом (Схема..) ...Лівий знімок: протон, нейтрон і електрон пройшли через поле камери. Камера знаходиться у магнітному полі, перпендикулярному площині малюнка. Нейтрон, який не має електричного заряду, не відчуває цього поля. Він рухається прямо. Заряджені частинки мають різні радіуси обертання (радіус Лармора). Легкі електрони відхиляються значно сильніше у магнітному полі, перпендикулярному напрямку їхньої траєкторії, ніж важкі протони. І обидва відхиляються в протилежних напрямках.
Набір рухів у магнітному полі, керований...
Але цієї групи ще не існує. Якщо ви її знайдете, ви зробите щасливими.
...Проте наш чоловік, розглядаючи свої знімки, помічає траєкторії, що належать до різних наборів рухів.
-
Це рухається прямо — це нейтрон.
-
Це повільно відхиляється вправо — це протон.
-
Це різко відхиляється вліво — це електрон.
...Правий знімок: електрон і антиелектрон, що виникли з одного й того ж випромінювання (пунктир), мають симетричні траєкторії, що свідчить про протилежні електричні заряди.
Класифікація видів за поведінкою, як набір рухів.
Імпульс.
...Цей чисто геометричний об’єкт можна розглядати як сукупність атрибутів. Зараз залишимо в стороні заряджені частинки, повернемося до них пізніше. "Релятивістська матеріальна точка" має атрибути, згруповані за методом, запропонованим математиком Жан-Марі Суріо, лідером у галузі математичної фізики, у об’єкт, який називається імпульс, пов’язаний з групою Пуанкаре.
Атрибути релятивістської матеріальної точки називаються:
-
Енергія E
-
Імпульс p — Обертання l (пов’язане зі спіном)
-
Переміщення f
Таким чином, "імпульс" має вигляд:
**J **= { E , p , **l **, **f **}
Зауваження на ходу:
...Тому що звикли в усьому, що йде далі, позначати скалярні величини тонкими літерами, а нескалярні (квадратні матриці, рядки, стовпці) — жирними літерами.
...Уточнення: тепер можна виконувати всі матричні множення рядок-стовпець, використовуючи тонкі або жирні літери, що дуже зручно. Наведемо приклад. Дія елемента групи Евкліда 2D записувалася раніше як:
Вводячи:
отримаємо більш компактний запис:
g тепер має вигляд матриці, що складається з підматриць:
-
a — квадратна матриця розміром (2,2).
-
c — стовпцевий вектор (вектор перенесення) розміром (2,1).
-
0 — рядковий вектор розміром (1,2):
Загалом, жирні 0 можуть бути як рядковими, так і стовпцевими векторами.
Дія тепер записується як:
Оскільки a r означає a × r (але знак множення матриць згодом часто опускають).
Кінець зауваження, повернення до теми імпульсу. Повернемося до виразу імпульсу для релятивістської матеріальної точки.
**J **= { E , p , **l **, **f **}
E — це скаляр (енергія).
p — вектор імпульсу.
l і f (жирні літери) — інші вектори (lx, ly, lz) і (fx, fy, fz): "обертання" і "переміщення".
...У процесі особистих досліджень, які ми представимо на цьому підсайті Geometrical Physics B (динамічні групи фізики), головна задача полягатиме саме у виявленні інших "атрибутів" елементарних частинок як складових більш складного імпульсу (заряди: електричний, баріонний, лептонний, таонний, а також гіромагнітний коефіцієнт).
...Суріо у 70-х роках створив метод, що дозволяє виявити складові імпульсу матеріальної точки, виходячи з групи, яка її керує (у релятивістському випадку — група Пуанкаре). Див. книгу: Structure des Systèmes Dynamiques. Dunod 1973
Дуже рекомендована аспірин.
...Тепер дуже важко продовжити без використання досить широкого математичного арсеналу, якщо не складного. Можливо, це зробимо пізніше на сайті, якщо з’являться зацікавлені, у стилі "Все, що ви колись хотіли знати про групи, але ніколи не сміли запитати".
