групи та фізична дія супряженої групи імпульс
| 6 |
|---|
Ми не будемо записувати компоненти імпульсу групи Баргмана. Схематично запишемо імпульс групи Баргмана наступним чином:
JB = { скаляр m, та інші компоненти імпульсу }
Супряжена дія показує, як перетворюються різні компоненти імпульсу. Але ця супряжена дія починається з простої співвідношення:
(63) m' = m
Супряжена дія групи Баргмана на її імпульс починається з збереження маси, яка таким чином виходить з чисто геометричним статусом.
Побудова супряженої дії групи Пуанкаре на її просторі імпульсів Jp**.**
Якщо ви вже повністю збиті з пантелику, нехай це пройде. Це нормально, і з кожним наступним кроком це стане все складніше. На цьому етапі я вже не знаю, хто саме це читає. Найімовірніше, теоретичні фізики або математики, але, мабуть, не сантехніки. Але студент виші або студент фізичного факультету, який не здасться, зможе слідувати. Це ніби просто матриці.
Все починається з групи матриць розміром (4,4), яка утворює групу Лоренца, елемент якої позначений як L.
Їх визначають аксіоматично через матрицю G:
(64)
за умови:
(65) tL G L = G
де tL — транспонована матриця L.
Матриці L утворюють групу.
Доведення.
Нейтральний елемент — L = 1:
Нехай L1 і L2 — два елементи множини. Перевіримо, чи належить їх добуток L1L2 до групи. Якщо це так:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Але:
t( A B ) = t B t A
Отже:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Тепер знайдемо обернену матрицю до L. Виходячи з аксіоматичного визначення елементів L:
tL G L = G
Помножимо праворуч на L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Помножимо ліворуч на G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Отже, обернена матриця до L має вигляд:
L-1 = G tL G
Тобто:
(66)
вектор простору-часу. Матриця G походить з метрики Мінковського, яку можна записати (при c = 1):
(67)
Вправа: показати, що обернена матриця задовольняє умову:
(68)
Тепер вводимо вектор просторово-часового переносу:
(69)
З його допомогою створюємо елемент gp групи Пуанкаре:
(70)
Вправа: показати, що це утворює групу, і знайти обернену матрицю:
(71)
Нижче — «дотичний вектор до групи», елемент її «алгебри Лі»:
(72)
З цього виразу ми обчислимо антидію:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Щоб спростити обчислення, помітимо, що:
(74) G d L
— це антисиметрична матриця. Позначимо її як:
(75)
отже:
(76)
Позначимо:
(77)
На основі цього матеріалу ми побудуємо антидію:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Після всіх обчислень отримаємо відображення:
(79)
Якщо ви хочете пропустити цю частину простих матричних обчислень, перейдіть до рівняння (80), в кінці сторінки.
(79a)
(79b)
звідки отримуємо компоненти антидії:
(79c)
але:
(79d)
отже:
(79e)
але GG = 1, тому:
(79f)
звідки випливає відображення:
(79g)
Що і є шуканою антидією, відображення:
(80)
