groups and physics coadjoint action momentum

групи та фізична дія супряженої групи імпульс

(91)

Цю супряжену дію можна записати у матричній формі.

Матриця групи Пуанкаре має вигляд:

(92)

її транспонована матриця:

(93)

Розглянемо матрицю:

(94)

Тобто ми перетворимо імпульс

(95) Jp = { M , P }

у матричну форму і утворимо добуток:

(96)

(97)

(98)

який можна ідентифікувати з матрицею:

(99)

Отже, Jp — це імпульс групи Пуанкаре, записаний у матричній формі. Тоді супряжена дія має вигляд:

(100)

Як вправа читач може, спираючись на аксіоми, перевірити, що це справді дія.

Імпульс групи Пуанкаре можна записати явно наступним чином:

(101)

Ця матриця є антисиметричною (що означає, що її головна діагональ складається з нулів). Матриця M має вигляд:

(102)

Виразимо її явно:

(103)

Це справді антисиметрична матриця, яку ми припускали з самого початку і яка залежить від шести параметрів:

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

Останні три ( fx , fy , fz ) — це компоненти вектора, вектор-**перехід f **:

(105)

Перші три ( lx , ly , lz ) — це незалежні компоненти антисиметричної матриці (3,3), **обертання l **:

(106)

Таким чином:

(107)

Вектор P — це чотиривектор імпульсу-енергії:

(108)

Тепер можна явно записати імпульс групи Пуанкаре у загальному вигляді:

(109)

Перевіряємо, що це дійсно об'єкт з десятьма компонентами (кількість, що відповідає розмірності групи).

(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}