групи та фізична дія супряженої дії імпульсів
| 9 |
|---|
Частинки із спіном.
Група Пуанкаре описує релятивістський рух точкового об'єкта. Аналогічно, група Баргмана, вираз якої буде наведено далі, описує нерелятивістський рух точкового об'єкта, який називають тоді «точковою масою».
Таким чином, цей метод — обчислення супряженої дії групи на простір імпульсів — дозволив виявити приховані елементи, властивості об'єкта: компоненти імпульсу.
Незвичайне в цьому підході, запропонованому Суріо, полягає в тому, що він виявляє ключові об'єкти фізики як чисто геометричні об'єкти. Тим самим він виконав незрівнянну роботу геометризації фізики.
Крім енергії та імпульсу, інші компоненти — «обертання» та «переміщення» — досить заплутують фізика. Що це за компоненти?
Вираз компонент імпульсу, звичайно, залежить від вибраної системи координат.
Найпростіше, можливо, повернутися до нерелятивістського випадку, тобто до виразу супряженої дії, який виник би з аналізу групи Баргмана.
(111)
Загадкова формула. Що вона означає? Як вона працює?
У цьому рамці фізик впізнає кілька знайомих об'єктів:
(112)
— це просто дві форми запису вектора швидкості { vx , vy , vz }: перша — у вигляді стовпця матриці, друга — у вигляді рядка матриці. Добуток цих двох матриць дає скаляр:
(113)
щось, що починає нагадувати кінетичну енергію.
m v — це імпульс.
Традиційний фізик, коли йдеться про динаміку матеріальної точки, знає лише три речі:
- масу m
- імпульс m v
- кінетичну енергію 1/2 mv²
Так, але швидкість відносно чого?
Група — це також погляд на світ. Ми можемо вважати, що за допомогою групи ми переносимо об'єкти (як це було з групою Евкліда), відносно нерухомого спостерігача, або, навпаки, що об'єкт нерухомий, а ми змінюємо свій погляд.
Якщо ми вибираємо перший підхід — перенесення об'єктів, що стосується динамічних груп, тобто груп фізики (на відміну від групи Евкліда, де час не виступає), ми повинні сказати, що ми надаємо об'єктам швидкість v і енергію E.
Якщо ж ми вибираємо протилежний погляд — вважаємо, що об'єкт нерухомий, а ми самі рухаємося, — то який сенс мають ці групи?
Група Евкліда означає тоді: «Бачиться з іншого місця і під іншим кутом».
«Інше місце» — це вектор перенесення:
(114)
«Бачиться під іншим кутом» — це матриця обертання a, обертання в просторі (яке можна було б розкрити за допомогою кутів Ейлера, що ми тут не робимо).
Щодо динамічних груп, цей погляд, ця точка зору на «речі» має бути розширеною. Залишаючись в рамках групи Баргмана, введення швидкості v означає, що спостерігач, який спостерігає цю точкову масу з іншого місця (вектор-перенесення c) під іншим кутом (матриця обертання a), також рухається відносно цієї нерухомої точкової маси зі швидкістю v.
І, щоб бути повним, щоб ускладнити ситуацію, він не рухається в той самий час, що й частинка, тобто точкова маса, яку спостерігають. Він відстає від неї на час Dt. Іншими словами: він спостерігає з іншого місця, але це інше місце — просторово-часове, відповідне вектору просторово-часового перенесення:
(115)
Прийнявши такий «відступ» від цієї точкової маси, що я виявляю? Перше: m' = m
Це не впливає на масу.
Я можу спростити собі життя, відкинувши обертання. Вже досить складно спостерігати точкову масу з іншого місця, з іншого часу, відстаючи, наскрізь на санях, що рухаються зі швидкістю v. Чи обов'язково ще й дивитися під кутом?
Ні. Нехай a = 1.
Але цей деталь зазвичай опускають у розрахунках. Супряжена дія, у цьому випадку, набуває вигляду:
(117)
Тут «розглядати» треба взяти у своєму етимологічному значенні. Що я роблю, коли розглядаю ситуацію, небо, поле бою, відео, зняте літаком-шпигуном?
Суддя запише:
— Розглядаючи стан місця...
Статичний погляд, відповідний групі Евкліда. Суддя спостерігає об'єкти на відстані c, в один і той самий момент часу (Dt = 0), припускаючи, що вони нерухомі ( v = 0). У разі потреби — під певним кутом, «під певним кутом».
Генерал, що рухається в літаку розвідника, — це як би суддя, що рухається ( v ≠ 0).
Але головнокомандуючий, який переглядає відео, зняте дроном-шпигуном, стикається з ситуацією, віднесеною у часі. Йому доводиться говорити:
— Розглянемо ціль, спостерігана з цього місця, під кутом, з певною швидкістю, і, крім того, такою, якою вона була дві години тому...
Ціль не має власної особливої швидкості. Її не можна вважати нерухомою, навіть якщо це «незмінна установка». Навіть Земля рухається, Сонце також, галактика тощо.