f4401 Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 3 : Description géométrique de l'antimatière de Dirac. Une première interprétation géométrique de l'antimatière après Feynman et le théorème dit CPT. . Jean-Pierre Petit & Pierre Midy Observatoire de Marseille France ---
Résumé.
...Nous incluons des éléments antichrones dans le groupe dynamique. Nous obtenons alors des mouvements et des moments impliquant la symétrie T, comme des mouvements PT-symétriques et des mouvements CPT-symétriques. Le premier évoque la vision de l'antimatière de Feynman et le second le théorème dit « CPT ». Mais l'inversion du temps, issue de l'action coadjointe, change le signe de la masse et de l'énergie. L'objet PT-symétrique d'une particule de matière ne correspond plus à l'antiparticule de Dirac, comme le pensait Feynman. Il s'agit d'une antiparticule, mais de masse négative. Il en va de même pour le théorème CPT : l'objet CPT-symétrique d'une particule de matière est une particule de matière, mais de masse négative.
1) Introduction.
...Dans des articles antérieurs ([1] et [2]), nous avons donné une interprétation géométrique de l'antimatière. La matière et l'antimatière sont supposées avoir leur propre espace de jeu {z i > 0} et {z i < 0} dans un espace à dix dimensions :
(1) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 , x , y , z , t}
composé de l'espace-temps { x , y , z , t } plus six dimensions supplémentaires. L'espace de jeu des photons correspond au plan {z i > 0}.
...Nos groupes à seize dimensions fournissent six scalaires supplémentaires, identifiés aux charges quantiques. La définition géométrique de base de l'antimatière que nous proposons correspond à :
(2) symétrie z : { z i} ----> {- z i}
...Grâce à un groupe à quatre composantes [2], nous avons montré que, dans ces conditions, la symétrie z va de pair avec une symétrie C, qui correspond à l'antimatière de Dirac [3], [4] et [5].
Feynman a suggéré une description alternative de l'antimatière. L'argument est le suivant.
Si nous considérons l'évolution d'une particule de masse m et d'impulsion p, son énergie est :
(3)
Supposons que cette particule, se déplaçant dans le « pli jumeau » F*, passe d'un état 1 ( P1 ) à un état 2 ( P2 ).
Nous ne gardons qu'un marqueur spatial x = x1 (en posant x2 = 0 et x3 = 0). L'amplitude de cette évolution est :
(4)
( où, par convention, c = h = 1 ).
...Ce chemin possède une image conjuguée dans notre pli espace-temps F. En raison de l'effet de la symétrie PT, la « vision » d'observateurs hypothétiques situés dans les plis F et F* serait différente. Pour l'observateur situé dans le pli F, la particule, de masse m et d'impulsion p, se déplace de l'état 2 à l'état 1 (P et T ajoutent chacun un signe moins à l'impulsion). Ce mouvement s'effectue sur un intervalle de temps Dt' = t'1 - t'2 = t2 - t1, et d'une position x2 à une position x1.
...Si, par exemple, un neutrino ne, de hélicité gauche, se déplace dans le pli F*, du « point de vue » du pli F, sa hélicité sera inversée : il deviendra un antineutrino.
3) Passage au groupe de Poincaré étendu complet.
...L'idée de Feynman (particules PT-symétriques) implique la présence de composantes antichrones dans le groupe. Dans le groupe présenté dans les références [1] et [2], l'inversion spatiale est déjà présente, en raison de sa présence dans le groupe de Lorentz orthochrone fondamental. Elle est nécessaire pour tenir compte des hélicités distinctes des photons et des neutrinos.
Nous pourrions étendre le groupe en introduisant une matrice d'inversion du temps :
(5)
...En multipliant les éléments du sous-groupe orthochrone, nous pouvons construire les composantes antichrones. Mais faisons-le de façon plus simple :
(6)
...Ce groupe contient toutes les composantes requises : orthochrones et antichrones, mais cette écriture met de manière pratique en évidence la symétrie PT (m = -1).
...Il s'agit d'un groupe à huit composantes (2 x 2 x 2). Le groupe de [2] est un sous-groupe de (6), d'où le fait que le groupe de [2] était un sous-groupe de celui de [1].
L'action coadjointe se trouve être :
(7)
Encore une fois, nous identifions les scalaires c i aux charges de la particule :
(8) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
l = - 1 réalise :
(9) symétrie z : {z i} ----> {- z i}
Encore une fois, la symétrie z est assimilée à la dualité matière-antimatière.
...Avec ce matériel, nous pouvons analyser l'impact des différentes composantes sur le moment. Comme nous disposons de termes antichrones, notre espace des moments doit être étendu aux secteurs de moments (E < 0). Voir la figure 1.
. Fig.1 : Espace des moments avec des secteurs d'énergie positive et négative.
Version originale (anglais)
f4401 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's antimatter. A first geometrical interpretation of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. . ** Jean-Pierre Petit & Pierre Midy** **Observatory of Marseille ** France ---
Abstract.
...We include antichron elements in the dynamic group. Then we get movements and moments involving T-symmetry, like PT-symmetric movements and CPT-symmetric movements. The first evoke the Feynmann's vision of antimatter and the second the so calle "CPT theorem". But tim-inversion, from coadjoint action, changes the sign of the mass and energy. The PT-symmetrical of a particle of matter does not longer identify to Dirac's antiparticle, as Feynmann thaught. It is an antiparticle, but with negative mass. Same thing for CPT theorem : the CPT-symmetrcal of a particle of a particle of matter is a partcle of matter, but with negative mass.
1) Introduction.
...In former papers ( [1] and [2] ) we have given a geometrical interpretation of antimatter. Matter and antimatter are suppose to have their personal playing field {z i > 0} and {z i < 0} in a ten dimensional space :
(1) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 , x , y , z , t}
composed by space-time { x , y z , t } plus six additional dimensions. The playing field of photons corresponds to the {z i > 0} plane.
...Our 16 dimension groups gives six additional scalars, identified to quantum charges. The basic geometric definition of anti matter we suggest corresponds to :
(2) z-symmetry : { z i} ----> {- z i}
...Through a four component group [2] we have shown that, in such conditions, the z-symmetry goes with a C-symmetry, which corresponds to Dirac's antimatter [3], [4] and [5].
Feynmann suggested an alternative description of anti matter. The argument is the following.
If we consider the evolution of a particule owing a mass m and an impulsion p, its energy is :
(3)
Suppose that this particle, moving in the "twin fold" F*, goes from a state 1 ( P1 ) to a state 2 ( P2 ).
We just keep one space marker x = x1 ( doing x2 = 0 and x3 = 0 ). The amplitude of such an evolution is :
(4)
( where, conventionnaly, c = h = 1 ) .
...This path owns a conjugated image in our space-time fold F. Due to the effect of PT symmetry, the "vision" of some hypothetic observers, located in the folds F and F*, would be different. For the observer located in the fold F the particle, owing a mass m and an impulsion p moves from the state 2 to the state 1 ( P and T both add a minus sign to the impulsion ). This movement occurs during a time-interval Dt' = t'1 - t'2 = t2 - t1, and from a position x2 to a position x1.
...If, for an example, a neutrino ne , with a left helicity, moves in the fold F*, from the "point of view" of the fold F its helicity will be reversed : it will be an antineutrino.
3) Shifting to complete extended Poincaré group.
...The idea of Feynmann ( PT-symmetrical particles ) implies the presence of antichron components in the group. In the group presented in reference [1] and [2] space inversion is already present, due to their presence in the basic orthochron Lorentz group. They are required to take account of disntinct helicities for photons and neutrinos.
We could extend the group, introducting a time-switch matrix :
(5)
...Multiplying and the elements of the orthochron sub-group we could build the antichron components. But let us do it in a simpler way :
(6)
...This group contains all the required components : orthochron and antichron, but such writing evidences the PT-symmetry ( m = - 1 ) in a convenient way.
...This is a eight components group ( 2 x 2 x 2 ). The groupe of [2] is a sub-group of (6) whence the group of [2] was a sub-group of the one of [1].
The coadjoint action is found to be :
(7)
Here again, we identify the scalars c i to the particle's charges set :
(8) {c i} = { q , cB , cL , cm , ct , v }
l = - 1 achieves :
(9) z - Symmetry : {z i} ----> {- z i}
Here again z - Symmetry is assimilated to matter-antimatter duality.
...With this material we can analyze the impact of the different components on the momentum. As we have antichron terms our momentum space must be extended to ( E < 0 ) momentums sectors. See figure 1.
. Fig.1 : Momentum space with positive and negative energies sectors.