Математика геометрія поверхня топологія

Як перетворити поверхню Cross Cap
на поверхню Боя (праву або ліву, за бажанням)
через поверхню Романі Стайнера.

Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

27 вересня - 25 жовтня 2003 року

Сторінка 2

Ось «поверхня Cross Cap» (як ви б її виявили на зображеннях віртуальної реальності). Вона має дві кінцеві точки, що є вершинами лінії самоперетину. Її можна створити, стиснувши повітряну кульку з допомогою гумових зажимів. Але ви можете також створити її поліедричні представлення. Та, що знизу, нас особливо цікавить.

На таблиці 4 знаходиться найскладніший елемент для вивчення. Мені здається неможливим, щоб хтось добре зрозумів ці об'єкти, просто дивлячись на малюнки. Зробіть моделі. Простими словами, потягніть кінцеву точку C2 «всередину поверхні» (що, між іншим, не має сенсу, бо, як ви, напевно, відразу помітили, поверхня Cross Cap є односторонньою: вона не має зовнішньої та внутрішньої сторони). Продовжуючи, поверхня «перетинає себе», і множина самоперетину доповнюється, трохи заокруглюючи, кривою у формі вісімки. Насамперед, утворився тривалий пункт T.

Поверхня стає більш зрозумілою у своїй поліедричній формі, і знизу ми збільшили деякі елементи, щоб показати, що нас змушує перетворити цей об'єкт на поверхню Романі Стайнера (див. симуляцію віртуальної реальності), найпростіша поліедрична форма якої полягає в збиранні чотирьох кубів (тут видно лише три).

Таблиця 5: поліедрична версія зліва, кругла справа. Стрілка проходить через точку, яку ми «затискаємо». Нижче — початок операції затискування.

Таблиця 6: затискування виконане, утворюється особливий пункт B. Насправді, оскільки ми затискаємо з обох сторін (щоб заощадити час), утворюються дві особливі точки S1 і S1, потім дві кінцеві точки. На цьому етапі, без картону, ножиць і скотчу, ви вже в біді.

Таблиця 7: ми просто перенесли різні кінцеві точки. Якщо точка C2 «відразу помітна», ви, напевно, матимете більше труднощів ідентифікувати точки C3 і C4 як кінцеві. Але вони там, на кінцях лінії самоперетину. Над точкою C3 знаходиться просто те, що я назвав «позиконом» — точка, де зосереджена додатна кривизна (точку, де зосереджена від’ємна кривизна, я називаю «негаконом»). Після невеликої деформації цього об'єкта досягається поліедрична форма поверхні Романі Стайнера (винахід Стайнера в Римі; див. його ілюстрацію віртуальної реальності).

Отже, гра завершена. Існує кілька типів поверхонь, залежно від правил, які ви встановлюєте. Поверхні, що не перетинаються самі з собою, називаються «вкладеннями» (сфери або тора в R3). Коли ж вони перетинаються самі з собою, але дотична площина змінюється безперервно, не втрачаючи своєї структури, їх називають ін’єкціями. Наприклад: пляшка Клейна у її класичному представленні. У R3 немає представлення пляшки Клейна у вигляді вкладення: вона обов’язково перетинається. Ін’єкції мають множини самоперетину без кінцевих точок. Ці множини є неперервними кривими, але можуть перетинатися в подвійних або потрійних точках. Зауваження: сферу можна реалізувати у вигляді ін’єкції (яка не є вкладенням), зробивши її самоперетин. Це насправді спосіб, яким вдається перевернути її (див. метод А.Філліпса, 1967, у якому центральним етапом є подвійне накриття поверхні Боя; див. також Б.Моріна і Ж.П.П’є, 1979, де в якості центрального моделювання використовується модель «з чотирма вухами» Моріна, поліедричну версію якої я винайшов близько десяти років тому).

План зборки цього об’єкта з паперу та ножиць

Якщо розширити правила гри, дозволивши цим об’єктам мати також кінцеві точки, отримаємо сумерсії (Cross Cap, поверхня Романі Стайнера). Не знаю, чи є термін «сумерсія» правильним, але оскільки я не знайшов математика, який би пояснив мені це питання, я знайшов цікавим винайти його тимчасово, доки не з’явиться досвідчений геометр. Отже, поверхня Cross Cap і поверхня Романі Стайнера є сумерсіями «проективної площини».

Щоб бути чесним, після двадцяти п’яти років діяльності та моїх розчарувань у галузі магніто-гідродинаміки, я почав ці роботи, бо вони здавалися мені найбільш віддаленими від будь-якого військового застосування. Але, як мені зазначив мій старий друг Мінь, термін «сумерсія» може викликати плутанину і дати зрозуміти Військовому флоту, що я намагаюся приховати прогреси у розробці підводних двигунів.

Правило «створення-розпаду» пар кінцевих точок дозволяє переходити від однієї сумерсії об’єкта до іншої, і саме це ми щойно зробили, показавши, що Cross Cap і поверхня Романі Стайнера є двома сумерсіями одного й того ж об’єкта, відомого як проективна площина. Не намагайтеся уявити собі «проективну площину». Цей об’єкт можна зрозуміти лише через різні представлення. Щодо терміну «проективна», він лише один із тисяч, які математики винайшли, щоб відвернути тих, хто бажає проникнути в їхній замкнений колектив. «Занічеллі» не допоможуть вам у математиці.

Залишається показати, як перейти до поверхні Боя, яка є ін’єкцією проективної площини

Попередня сторінка Наступна сторінка

Повернення до індексу «Перетворення Cross Cap у поверхню Боя»

Повернення до розділу Новини Повернення до розділу Посібник Повернення до Головної сторінки

Кількість відвідувань з 25 жовтня 2003 року:

Зображення