Математика, геометрія, поверхні, топологія

Як перетворити поверхню Cross Cap
на поверхню Боя (праву або ліву, за бажанням),

перейшовши через римську поверхню Штейнера.

Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима

../../Crosscap_Boy1.htm

27 вересня - 25 жовтня 2003 року

Сторінка 2

Ось «поверхня Cross Cap» (як ви б її виявили на зображеннях віртуальної реальності). Вона має дві кутові точки, які є вершинами лінії самоперетину. Її можна створити, стиснувши повітряну кульку з допомогою гумок для закріплення волосся. Але ви можете також створити її поліедричні представлення. Та, що нижче, нас особливо цікавить.

На таблиці 4 знаходиться найскладніше для вивчення. Мені здається неможливим, щоб хтось добре зрозумів ці об'єкти, просто дивлячись на малюнки. Зробіть моделі. Простими словами, потягніть кутову точку C2 «всередину поверхні» (що, між іншим, не має сенсу, бо, як ви, напевно, відразу помітили, поверхня Cross Cap — одностороння: у неї немає зовнішньої та внутрішньої сторони). Постійно тягнучи, поверхня «перетинає себе», і множина самоперетину доповнюється, трохи згладжуючи, кривою у формі вісімки. Насамперед, створено точку потрійного перетину T.

Поверхня стає більш зрозумілою у своїй поліедричній формі, і нижче ми збільшили деякі елементи, щоб показати, чому ми перетворюємо цей об'єкт на римську поверхню Штейнера (див. симуляцію віртуальної реальності), найпростіша поліедрична форма якої полягає в з'єднанні чотирьох кубів (тут видно лише три).

Таблиця 5: ліворуч — поліедрична версія, праворуч — кругла. Стрілка проходить через точку, яку ми «затискаємо». Нижче — початок процесу затискування.

Таблиця 6: затискування виконано і створює особливу точку B. Насправді, оскільки ми затискаємо з обох сторін (щоб заощадити час), утворюються дві особливі точки S1 і S1, потім дві кутові точки. У цей момент без картону, ножиць і скотчу вам дуже важко.

Таблиця 7: ми просто перенесли різні кутові точки. Якщо точка C2 «очевидна», ви, напевно, матимете більше труднощів ідентифікувати точки C3 і C4 як кутові. Але вони там, на кінцях лінії самоперетину. Над точкою C3 знаходиться просто те, що я назвав «позиконом» — точка, у якій зосереджена додатна кривизна (точку, у якій зосереджена від’ємна кривизна, я називаю «негаконом»). Трохи деформуючи цей об’єкт, ми отримуємо поліедричну форму римської поверхні Штейнера (вигадано Штейнером у Римі; див. його ілюстрацію віртуальної реальності).

Отже, гра закінчена. Існує кілька типів поверхонь, залежно від правил, які ви встановлюєте. Поверхні, що не перетинаються самі з собою, називаються «вкладеннями» (сфери чи тора в R3). Коли ж вони перетинаються самі з собою, але дотична площина змінюється неперервно без виродження, їх називають вкладеннями. Наприклад: пляшка Клейна у її класичному представленні. У R3 немає представлення пляшки Клейна у вигляді вкладення: вона обов’язково перетинається. Вкладення мають множини самоперетину без кутових точок. Ці множини — неперервні криві, але можуть перетинатися в подвійних або потрійних точках. Зауваження: сферу можна реалізувати як вкладення (яке не є вкладенням), зробивши її самоперетин. Саме таким чином вдається перевернути її (див. метод А.Філліпса, 1967, у якому центральним етапом є подвійне накриття поверхні Боя; див. також Б.Моріна та Ж.П.П’є, 1979, де в ролі центрального моделювання використовується модель «з чотирма вухами» Моріна, поліедричне представлення якої ви бачите нижче — я вигадав її близько десяти років тому).

План збирання цього об’єкта з паперу та ножиць

Якщо розширити правила гри, дозволивши цим об’єктам мати також кутові точки, отримуємо сумердження (Cross Cap, римська поверхня Штейнера). Не знаю, чи правильне це слово, але оскільки я не знайшов математика, який би пояснив мені це питання, я знайшов цікавим вигадати його, хоча б тимчасово, доки не з’явиться досвідчений геометр. Отже, поверхня Cross Cap і римська поверхня Штейнера є сумердженнями «проективної площини».

Щоб бути чесним, після двадцяти п’яти років діяльності та моїх розчарувань у галузі магнітогідродинаміки, я почав ці роботи, бо вони здавалися мені найбільш віддаленими від будь-яких військових застосувань. Але, як мені зазначив мій старий друг Мінь, слово «сумердження» може викликати плутанину і здаватися Військовому флоту, що я намагаюся приховати прогрес у розробці підводної енергетики.

Правило «створення-розпаду» пар кутових точок дозволяє перейти від одного сумердження об’єкта до іншого, і саме це ми щойно зробили, показавши, що Cross Cap і римська поверхня Штейнера є двома сумердженнями одного й того самого об’єкта, відомого як проективна площина. Не намагайтеся уявити собі «проективну площину». Цей об’єкт можна зрозуміти лише через різні представлення. Щодо слова «проективна», воно — лише одне з тисяч, які математики вигадали, щоб відвернути тих, хто бажає проникнути в їхній закритий коло. «Занічеллі» вам ніяк не допоможуть у математиці.

Тепер нам залишається побачити, як перейти до поверхні Боя, яка є вкладенням проективної площини

Попередня сторінка Наступна сторінка

Повернення до індексу «Перетворення Cross Cap у поверхню Боя»

Повернення до розділу «Новини» Повернення до розділу «Гід» Повернення до Головної сторінки

Кількість відвідувань з 25 жовтня 2003 року:

Зображення