Геометрія поверхонь, математичні моделі
Як перетворити поверхню Cross Cap
на поверхню Боя (праву або ліву, за бажанням)
переходячи через римську поверхню Штейнера.
Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима
../../Crosscap_Boy1.htm
27 вересня — 25 жовтня 2003 року
Сторінка 4
Наведемо модель ще з іншого боку:
Таблиця 14: повторюємо одну й ту ж операцію, створюючи третій «вухо» кривої самоперетину. У поліедричній моделі це останнє має форму трьох квадратів зі спільною вершиною — трьох точок T.
Таблиця 15: обертаючи об'єкт, ви знову отримаєте поліедричну версію поверхні Боя, яку я представив у «Топологіконі» (де ви можете знайти також план зборки, що дозволяє зробити її самостійно).
Остання таблиця: я намагався проілюструвати, як поверхня Штейнера викручується та перетворюється на поверхню Боя.
Ви бачите, що, намальована у «круглій» формі, її дуже важко зрозуміти. Наше око дуже незручно відчувається, коли треба сприймати об'єкт, на одному візуальному промені якого перекриваються більше двох граней. Саме тому поліедрична модель має велике значення — вона робить доступними для кожного, якщо тільки вони спробують зробити моделі самостійно, перетворення, які в геометрії вважаються складними. Зауважимо, що залежно від вибору пари кутових точок, отримується поверхня Боя «права» або «ліва» (ці визначення повністю довільні). Проєктивна площина поглиблюється у простір двома «антіавтоморфними» дзеркальними представленнями. Отже, ми бачимо, що можна перейти від правої поверхні Боя до лівої через «центральну» модель, якою є римська поверхня Штейнера.
Було б дуже приємно, якби ці малюнки були опубліковані у журналах, як-от «Pour la Science» або «La Recherche». Але останні 20 років мені «заборонено» публікувати у цих журналах через «уфологічну дезінформацію». Дякую, шановні Ерве Тіс та Філіпп Буланже. Я вже не пам'ятаю, скільки таких статей я пропонував цим журналам, і які вони мені дуже люб’язно відмовили. Нарешті, звикнеш до свого статусу «засудженого».
Як цікавий анекдот: існує «Премія Альберта», призначена для винагороди авторів книг з популяризації математики. Історію мені розповів один із членів комісії, яка вирішувала, кому варто її присудити (зрозуміло, є й грошові питання). Діалог:
— Ну, чому ми не присудимо премію Пітту? Він написав чудові роботи, як «Геометрікон», «Чорна діра» та «Топологікон».
— Так, але він написав ще й інше.
— Про що ви?
— Він також написав «Стіну мовчання».
— А, отже, ...
Так, «Стіна мовчання», опублікована у 1983 році, — це альбом, присвячений МГД. І, як кожен з нас знає, ця корозійна наука має як перевагу, так і недолік — вона дозволяє літаючим тілам рухатися з надзвуковою швидкістю без «буму».
«Приховай цю науку, щоб я її не бачив»
У моїх ящиках є чудова версія «перевернення куба», яка не є поліедричною версією варіанту Моріна. Це моє власне винахід. Якось одного дня...
22 жовтня 2003 року: Не варто занадто напружуватися над цими сторінками, якщо вірити лічильнику. У понеділок, 13 жовтня 2003 року, я провів семінар у ЦМІ (Центр математики та інформатики в Чато-Гомбер, Марсель) за запрошенням Тротмана. У цей час я міг витягти колекцію близько тридцяти картонних моделей, які ви зможете побачити у першій черзі, оскільки їх зняв Крістоф Тарді.
Коли проводиш семінар, створюється певна атмосфера. На наступному фото — геометр, що висловлює своє невдоволення.
На задньому плані — частина моделей, виставлених з допомогою мого довголітнього співробітника Бориса Кольєва, який також є геометром у цьому відділі. У певний момент я поставив запитання:
— Скільки з вас вже бачили римську поверхню Штейнера? Підніміть руку.
Ніхто її не бачив. Тому мені здавалося корисним представити цей об'єкт за допомогою програми віртуальної реальності на ноутбуці, який я мав при собі, програма була створена з допомогою Крістофа Тарді, інженера, та Фредеріка Дескампа з Інституту Лауе-Ланжевена у Греноблі (ILL). Зрозуміло, що це представлення дуже збентежує аудиторію, яка звикла бачити математичні поверхні, що роблять різні повороти.
Дві картонні таблиці, видні на передньому плані, дозволили представити всю послідовність моделей у логічному порядку. Зелені та жовті моделі ілюструють у поліедричній формі ключовий інструмент створення та роз’єднання пари кутових точок. Більш віддалений білий об'єкт — це поліедрична версія поверхні Cross Cap, яка спочатку перетворюється на поліедричну версію римської поверхні Штейнера, а потім, на відстані метра, на вибір — на поверхню Боя «праву» або «ліву».
Аналіз моделей викликає різні спостереження серед аудиторії. Один із геометрів запитує:
— Якщо вірно, що, слідуючи моделям у цьому порядку, можна перейти від поверхні Cross Cap до поверхні Боя, здається, що, відповідно, можна перетворити поверхню Боя на Cross Cap, відповідно до зворотного процесу.
Я відповідаю позитивно. Підбадьорений, мій співрозмовник додає:
— Отже, якщо на етапі римської поверхні Штейнера ми зупинимося, має бути можливість повернутися до поверхні Боя, але відбитої від початкової.
Я знову погоджуюся. Але, на жаль, ніхто не висловив бажання пояснити цей дивний світ, у якому дозволяється, щоб замкнені поверхні мали кутові точки, які створюються або зникають парами, а їхній збір утворює якесь узагальнення світу вкладень. Слово «суммерження» мені здається зручним. Якщо читач зможе дати якісь пояснення, буде дуже добре.
Кривина зосереджена в кутовій точці.
Ми її обчислимо, додаючи кути при вершині та порівнюючи цю суму з результатом, отриманим у випадку евклідової площини: 2π.
У верхньому лівому куті ви бачите одну з багатьох можливих поліедричних представлення кутової точки. «Розбирання» поверхні дає суму кутів, що перевищує значення 2π на 2α. Звідси випливає, що кутова кривина, зосереджена навколо цієї точки C, дорівнює -2α. Якщо кут α дорівнює π/2, тоді від’ємна кривина дорівнює -π (малюнок у нижньому лівому куті). Насправді кривина кутової точки може набувати нескінченно багатьох значень. У нижньому правому куті ми підсилюємо суму кутів, і тоді кривина стає < -π (ми збільшили від’ємну кривину).
Навпаки, ми можемо досягти досить дивної ситуації: можна зробити так, щоб кривина (кутова), зосереджена в точці C, була... нульовою:
Тепер почнемо з поліедричної представлення поверхні Cross Cap, що містить дві кутові точки, кожна з кривиною -π:
У цьому малюнку є вісім «позиконів» зі значенням +π/2. Додаємо ще чотири «позикони» з кривиною +π/4 і чотири «негакони» з кривиною -π/4.
Плюс дві кутові точки з кривиною -π.
Сума: 2π
Поділивши це «загальну кривину» на 2π, ми отримуємо значення характеристики Ейлера-Пуанкаре будь-якої представлення проєктивної площини (або поверхні Боя).
Під час семінару я згадав мистецтво та спосіб переставляти дві кутові точки поверхні Cross Cap за допомогою перевернення сфери. Не пам’ятаю, чи вже виклав це де-небудь на своєму сайті. Це дуже заплутано. Слід шукати, інакше додам. Це дуже цікаво. Проте ця операція не сподобалася одному з присутніх на семінарі:
— Не розумію, чому Піт використовує стільки устаткування, щоб довести симетрію, що з’єднує дві кутові точки Cross Cap. Це можна зробити набагато простіше.
І він намалював на дошці сфери, стиснутої між двома лінійками, що торкаються одна одної, і це дійсно дає криву самоперетину у вигляді відрізка, на кінцях якого є дві кутові точки, як у поверхні Cross Cap. Незручно, що цей чоловік це помітив: це не є поверхня Cross Cap.
— Та що ж це, насправді? — запитав хтось.
Це просто вкладення сфери з двома кутовими точками. Якщо зробити так, щоб вони збіглися в одну точку, лінія самоперетину перетвориться на коло. І ми отримаємо (у нижньому правому куті) вкладення сфери, яке залишається тільки перетворити на її стандартне вкладення. Ми можемо також дати поліедричну представлення цієї поверхні:
Це двостороння поверхня, загальна кривина якої дорівнює 2π.
Отже, з цими «суммерженнями» можна дуже добре розважитися. Розглянемо вкладення тора, отримане обертанням символу «нескінченності» навколо осі:
Техніка злиття кутових точок у одну точку дозволяє швидко отримати стандартне вкладення тора, як це пояснено вище на малюнках у послідовності.
Але не завжди все так просто і очевидно. Наприклад, розглянемо сферу, стиснуту між двома відрізками, які тепер коротші за діаметр. Ми знову отримуємо дві кутові точки.
Оскільки ця поверхня містить стрічку Мебіуса, вона є односторонньою. Ми розмістили поряд її поліедричну представлення, що дозволяє обчислити її загальну кривину. Ми отримуємо нуль. Якщо я не помиляюся, це має бути пляшка Клейна. Звичайно, відома лише класична вкладення, у якій лінія самоперетину — просте коло. Але є й інші, як ця. Відчуваю, що ще не знайшов способу перетворити її на звичайну пляшку Клейна. Крім того, не знаю, чи ця «вкладення» і класична вкладення належать до однієї класи гомотопії (наприклад, для сфери є лише одна). Загалом, не обов’язково: тор, наприклад, може бути вкладений у тривимірному просторі чотир