Трансформація крос-капи в поверхню Боя, через поверхню Римську Штейнера
Як перетворити крос-капу в поверхню Боя (ліву або праву, за бажанням), пройшовши через римську поверхню Штейнера.
27 вересня - 25 жовтня 2003 року
Сторінка 2
Ось крос-капа (такою, якою ви її бачили на зображеннях віртуальної реальності). Вона має два куспідальні точки, що обмежують лінію самоперетину. Її можна зробити, стиснувши м’яч з допомогою гребінця. Але ви можете також створити її поліедричні представлення. Особливо цікавим для нас буде нижнє зображення.
На цьому малюнку 4 знаходиться найскладніший момент для сприйняття. Здається майже неможливим, щоб перший зустрічний зрозумів ці фігури, просто дивлячись на малюнки. Зробіть ці макети. Просто потягніть куспідальну точку C2 «всередину поверхні» (що, звичайно, не має сенсу, оскільки, як ви, без сумніву, відразу помітили, крос-капа — одностороння. Постійно тягнучи, поверхня перетинає себе, і вся лінія самоперетину доповнюється «вигнутим» колом у формі вісімки. Під час цього утворюється трійна точка T.
Поверхня стає зрозумілішою у своїй поліедричній формі, і внизу ми збільшили деякі елементи, щоб показати, чому ми вирішили перетворити цей об’єкт на римську поверхню Штейнера (див. віртуальну реальність), найпростіша поліедрична форма якої полягає в з’єднанні чотирьох кубів (тут видно лише три).
Малюнок 5: ліворуч — поліедр, праворуч — «вигнутий» об’єкт. Стрілка проходить через ділянку, яку ми «зістиснемо». Унизу — початок стиснення.
Малюнок 6: стиснення виконане шляхом створення особливої точки B. Насправді, оскільки ми стискаємо з обох боків, щоб заощадити час, утворюються дві особливі точки S1 і S1, а потім дві пари куспідальних точок. Без картону, ножиць і скотчу ви вже злякаєтеся.
Малюнок 7: ми просто перенесли різні куспідальні точки. Якщо точка C2 «очевидна», вам буде трохи важче визначити точки C3 і C4 як куспідальні. Але вони дійсно присутні на кінцях лінії самоперетину. Над точкою C3 просто знаходиться те, що я назвав «позикоїн» — точка концентрації додатної кривини (точка концентрації від’ємної кривини — це «негакоїн»). Невелика деформація цього об’єкта дає поліедричну форму римської поверхні Штейнера (поверхня 4-го степеня, винайдена Штейнером у Римі. Див. її презентацію у віртуальній реальності).
Отже, справа зроблена. Існує кілька типів поверхонь залежно від правил, які ми накладаємо. Поверхні, що не перетинають себе, називаються вкладеннями (сфери, тора в R3). Коли вони перетинають себе, але дотична площина змінюється неперервно, їх називають ін’єкціями. Наприклад, пляшка Клейна у її класичному представленні. У R3 немає представлення пляшки Клейна у вигляді вкладення. Вона обов’язково перетинає себе. Ін’єкції мають множини самоперетину, вільні від куспідальних точок. Ці криві є неперервними, але можуть перетинатися, утворюючи точки подвійного або потрійного перетину. Зауваження: сфера може бути представлена як ін’єкція, просто зробивши її самоперетин. Саме так вдалося повернути сферу (A. Phillips, 1967, з центральною етапом — подвійне накриття поверхні Боя; B. Morin та J.P. Petit, 1979, з центральним моделлю — чотиривухий макет Моріна, який я винайшов близько десяти років тому.
План зборки цього об’єкта за допомогою вирізання
Якщо ми розширимо правила гри, передбачаючи, що ці об’єкти мають куспідальні точки, ми отримуємо субмерсії (крос-капа, римська поверхня Штейнера). Не знаю, чи це точне слово, але оскільки я не знайшов жодного математика, який би мене прояснити, мені здавалося цікавим вигадати його, тимчасово, доки не з’явиться експерт-геометр. Отже, крос-капа та римська поверхня Штейнера є субмерсіями «проектної площини».
Щоб бути чесним, після моїх невдач у галузі МГД протягом двадцяти п’яти років я почав ці дослідження, бо вони здавалися мені найбільш віддаленими від будь-якого військового застосування. Але, як зазначив мій старий друг Мінь, слово «субмерсія» може викликати плутанину і залишити враження, що через ці дослідження я намагаюся приховати якийсь прорив у галузі підводної енергетики.
Правило «створення-знищення» пар куспідальних точок дозволяє перейти від однієї субмерсії об’єкта до іншої, і саме це ми щойно зробили, показавши, що крос-капа та римська поверхня Штейнера — це дві субмерсії одного й того самого об’єкта, який називається проектна площина. Не намагайтеся уявити, як виглядає «проектна площина». Цей об’єкт можна сприймати лише через його різні представлення. Щодо слова «проектна площина» — це лише одне з тисяч інших слів, які математики вигадали, щоб заплутати тих, хто бажає проникнути в їхній замкнений коло. «Ларусс» вам у математиці ніяк не допоможе.
Нам залишається перейти до поверхні Боя, яка є ін’єкцією проектної площини
Попередня сторінка Наступна сторінка
Повернення до заголовку «Трансформація крос-капи в поверхню Боя»
Повернення до Гід Повернення до Головної сторінки
Кількість переглядів з 25 жовтня 2003 року:
Зображення
