Перетворення крос-капи на поверхню Боя через поверхню Романівського Стайнера
Як перетворити крос-капу на поверхню Боя (ліву або праву, за бажанням), пройшовши через поверхню Романівського Стайнера.
27 вересня - 25 жовтня 2003 року
Сторінка 2
Ось крос-капа (такою, якою ви її бачили у віртуальній реальності). Вона має два куспідальні точки, що обмежують лінію самоперетину. Її можна зробити, стиснувши м’яч, як у дротяного закручувача. Але ви можете також створити її поліедричні представлення. Особливо цікавим для нас буде нижнє.
На цьому малюнку 4 знаходиться найскладніший момент для сприйняття. Здається майже неможливим, щоб перший зустрічний зрозумів ці фігури, просто дивлячись на малюнки. Зробіть ці макети. Просто потягніть куспідальну точку C2 "всередину поверхні" (що, звичайно, не має сенсу, бо, як ви, напевно, відразу помітили, крос-капа — це одностороння поверхня. Постійно тягнучи, поверхня перетинає себе, і вся лінія самоперетину доповнюється "вигнутою" кривою у формі вісімки. Під час цього утворюється трійна точка T.
Поверхня стає більш зрозумілою у поліедричній формі, і унизу ми збільшили деякі елементи, щоб показати, чому ми вирішили перетворити цей об’єкт на поліедричну форму Романівської поверхні Стайнера (див. віртуальну реальність), найпростіша форма якої полягає у з’єднанні чотирьох кубів (тут ми бачимо лише три).
Малюнок 5: ліворуч — поліедрична форма, праворуч — вигнутий варіант. Стрілка проходить через ділянку, яку ми "стиснемо". Унизу — початок стиску.
Малюнок 6: стискування здійснено шляхом створення особливої точки B. Насправді, оскільки ми стискаємо з обох сторін, щоб заощадити час, утворюються дві особливі точки S1 і S1, а потім дві пари куспідальних точок. У цьому випадку без картону, ножиць і скотчу ви вже в біді.
Малюнок 7: ми просто перенесли різні куспідальні точки. Якщо точка C2 "очевидна", то трохи важче визначити точки C3 і C4 як куспідальні. Але вони дійсно присутні на кінцях лінії самоперетину. Над точкою C3 просто знаходиться те, що я назвав "позикоїном" — точка концентрації додатної кривини (точка концентрації від’ємної кривини — це "негакоїн"). Легко змінивши трохи форму цього об’єкта, ми отримаємо поліедричну форму Романівської поверхні Стайнера (поверхня четвертого степеня, винайдена Стайнером у Римі. Див. її представлення у віртуальній реальності).
Отже, справа вирішена. Існує кілька типів поверхонь, залежно від правил, які ми накладаємо. Поверхні, які не перетинають себе, називаються вкладеннями (сфери, тора в R3). Коли вони перетинають себе, але дотична площина змінюється неперервно, їх називають ін’єкціями. Наприклад, пляшка Клейна у її класичній формі. У R3 немає вкладення пляшки Клейна. Вона обов’язково перетинає себе. Ін’єкції мають множини самоперетину, вільні від куспідальних точок. Ці криві є неперервними, але можуть перетинатися, утворюючи подвійні або потрійні точки. Зауваження: сфера може бути представлена як ін’єкція, просто зробивши її самоперетин. Саме так, за допомогою цього, було досягнуто її перевернення (A. Phillips, 1967, з центральною етапом — подвійне накриття поверхні Боя; B. Morin і J.P. Petit, 1979, з центральним моделлю — чотиривухий модель Моріна, яку я створив близько десяти років тому.
План зборки цього об’єкта за допомогою вирізання
Якщо ми розширимо правила гри, припускаючи, що ці об’єкти мають куспідальні точки, ми отримаємо субмерсії (крос-капа, Романівська поверхня Стайнера). Я не знаю, чи це точне слово, але оскільки я не знайшов математика, який би мене прояснити, мені здалося цікавим вигадати його тимчасово, доки не з’явиться експерт-геометр. Отже, крос-капа і Романівська поверхня Стайнера є субмерсіями "проєктивної площини".
Скажу вам щиро: після моїх труднощів у галузі МГД протягом двадцяти п’яти років я почав ці дослідження, бо вони здавалися мені найбільш віддаленими від будь-якого військового застосування. Але, як зазначив мій старий друг Мін, слово "субмерсія" може викликати плутанину і дати змову Народному флоту, що через ці дослідження я намагаюся приховати якісь прориви у підводній пропульсії.
Правило "створення-знищення" пар куспідальних точок дозволяє перейти від однієї субмерсії об’єкта до іншої, і саме це ми щойно зробили, показавши, що крос-капа і Романівська поверхня Стайнера є двома субмерсіями одного й того самого об’єкта, який називається проєктивна площина. Не намагайтеся уявити, як виглядає "проєктивна площина". Цей об’єкт можна сприйняти лише через його різні представлення. Щодо слова "проєктивна площина" — це лише одне з тисяч інших слів, які математики вигадали, щоб заплутати тих, хто хоче проникнути в їхній замкнений коло. "Ларусс" ніяк не допоможе вам у математиці.
Тепер нам залишається перейти до поверхні Боя, яка є ін’єкцією проєктивної площини
Попередня сторінка Наступна сторінка
Повернення до змісту "Перетворення крос-капи на Боя"
Повернення до довідника Повернення на головну сторінку
Кількість переглядів з 25 жовтня 2003 року:
Зображення
