Перетворення кроскапи на поверхню Боя через поверхню Риманської Стейнера
Як перетворити кроскапу на поверхню Боя (праву або ліву, за бажанням), пройшовши через поверхню Риманської Стейнера.
27 вересня 2003 р.
Сторінка 4
Тепер показуємо модель з іншого боку:
Планшет 14: повторюємо той самий процес, створюючи третє «вухо» кривої самоперетину. У поліедричній формі воно має вигляд трьох квадратів, що мають спільну вершину — тривалу точку T.
Планшет 15: обертаючи об'єкт, ви отримуєте поліедричну версію поверхні Боя, яку я раніше запропонував і представив у «Топологіконі» (де є розріз, що дозволяє зробити її самостійно).
Останній планшет: я спробував зобразити поверхню Стейнера (четвертого степеня, тоді як поверхня Боя — шостого) у процесі згинальних рухів, перетворюючись на поверхню Боя.
Ви бачите, що в «круглому» вигляді потрібна досить відповідна практика, щоб зрозуміти об'єкт. Наше око дуже незручно відчувається, коли йдеться про об'єкт, де на одній лінії зору перекриваються більше двох шарів. Тому інтерес до поліедричної форми полягає в тому, що вона робить доступними для широких мас складні перетворення, які вважаються складними в геометрії, оскільки люди самі вкладають зусилля у створення моделей. Під час цього помічаємо, що залежно від вибору пари куспідальних точок отримуємо поверхню Боя «праву» або «ліву» (слова абсолютно довільні). Проектна площина інсуюється двома «енантіоморфними» представленнями, дзеркальними один до одного. Ви бачите, що можна перейти від правої поверхні Боя до лівої через «центральну» модель — поверхню Риманської Стейнера.
Було б, без сумніву, приємно, якби такі малюнки були опубліковані в «Pour la Science» або «La Recherche». Але останні 20 років я «заборонений для публікації» у цих журналах через овнійський диверсійний підхід. Дякую, панові Гервуа Тіс і Філіппу Буланже. Я не можу вже порахувати, скільки таких статей я надсилав цим журналам, і вони відповіли мені дуже ввічливо. Нарешті звикли до свого статусу екзекуційного.
Додатково: у Франції існує «престижна премія Аламберта» для авторів книг з популяризації математики. Історію мені розповів один із членів комісії, що вирішувала, хто має отримати премію (на виплату є, хоча б трохи грошей). Діалог:
— Але ж чи не можна було б присудити цю премію Петі? Він написав чудові твори, як «Геометрикон», «Чорна діра» та «Топологікон».
— Так, але він написав ще й інші роботи.
— Про що ви маєте на увазі?
— Він також написав «Стіну мовчання».
— Ага, в цьому випадку...
Так, «Стіна мовчання», що вийшла у 1983 році, — це альбом, присвячений МГД. І, як відомо, ця суперсильною наука має здатність (або хитрість) дозволяти літакам-тарілкам рухатися зі швидкістю, що перевищує швидкість звуку, не викликаючи «буму».
Приховайте цю науку, щоб я її не бачив
У мене є варіант «перевернення куба» з досить красивим центральним моделлю, що є справжньою красою, і це не поліедрична версія варіанту Моріна. Усе це моє власне. Колись, колись...
22 жовтня 2003 р.: на цих сторінках не багато відвідувачів, якщо орієнтуватися за лічильником. 13 жовтня 2003 року я провів семінар у ЦМІ (Центр математики та інформатики, Марсель-Шато-Гомбер) за запрошенням Тротмана. Під час семінару я виставив колекцію близько тридцяти картонних моделей, які ви скоро побачите першими, оскільки їх зняв Христоф Тарді.
Коли проводиш семінар, виникає певна атмосфера. На наступному фото — геометр, що висловлює свій занепокоєння.
На задньому плані — частина виставлених моделей. У певний момент я задав запитання:
— Хто з вас уже бачив поверхню Риманської Стейнера? Підніміть руку.
Ніхто не бачив. Тому я вважав за потрібне представити об'єкт у віртуальній формі на ноутбуці, який я привіз, об'єкт, створений разом з Христофом Тарді, інженером, і Фредеріком Дескампом з Інституту Лауе-Ланжевена у Грено більшість. Очевидно, ця презентація збентежила аудиторію, яка звикла бачити математичні поверхні нерухомими.
Два картонні планшети, видні на передньому плані, дозволили послідовно представити моделі в логічному порядку. Поліедричні моделі «зелені та жовті» ілюструють ключовий інструмент створення-знищення пари куспідальних точок. Найвіддаленіший білий об'єкт — це поліедрична версія кроскапи, яка спочатку перетворюється на поліедричну версію поверхні Риманської Стейнера, а далі — на поверхню Боя «праву» або «ліву».
Аналіз макетів викликав різні зауваження в аудиторії. Один із геометрів запитав:
— Якщо, рухаючись у цьому напрямку, ми можемо перейти від кроскапи до Боя, то, зробивши навпаки, ми повинні змогти перетворити Боя на кроскапу.
Я відповів позитивно. Підбадьорений, мій співрозмовник додав:
— Якщо на етапі поверхні Риманської Стейнера ми зупинимося, тоді ми зможемо повернутися до дзеркальної версії поверхні Боя.
Я знову погодився. Але, на жаль, ніхто не запропонував пояснити цей дивний світ, де замкнені поверхні, інсуються з куспідальними точками, створеними або знищеними парами, утворюючи якесь розширення світу інсуювань. Слово «субмерсії» мені здається відповідним. Якщо читач знайде пояснення, буде дуже приємно.
Кривина, зосереджена в куспідальній точці
Розраховується шляхом додавання кутів у вершині та порівняння цієї суми з евклідовою сумою: 2π.
У верхньому лівому куті зображено одну з багатьох поліедричних форм куспідальної точки. Розбирання об'єкта (праворуч) призводить до суми, що перевищує евклідову суму 2π на величину 2α. Тоді випливає, що кутова кривина, зосереджена навколо цієї точки C, дорівнює -2α. Якщо кут α дорівнює π/2, тоді від'ємна кривина становить c (на малюнку у нижньому лівому куті). Насправді кривина, зосереджена в куспідальній точці, може набувати нескінченно багатьох значень. У нижньому правому куті збільшується кутова сума, а кривина стає < 2α. Збільшується від'ємна кривина.
Навпаки, можна отримати досить дивну ситуацію: зробити так, щоб кривина (кутова), зосереджена в точці C, була... нульовою:
Тепер можна виходити з поліедричної версії кроскапи, де є дві куспідальні точки, кожна з від'ємною кривиною, що дорівнює -π:
Є вісім «позитивних точок» з кривиною +π/2. Додаємо ще чотири «позитивні точки» з кривиною +π/4 і чотири «негативні точки» з кривиною -π/4.
Плюс дві куспідальні точки з кривиною -π.
Сума: 2π
Поділивши цю загальну кривину на 2π, ми отримуємо характеристику Ейлера-Пуанкаре для всіх представлення проектної площини (наприклад, поверхні Боя).
Під час моєї лекції я згадав про мистецтво та методи перестановки двох куспідальних точок кроскапи, використовуючи перевернення сфери. Не пам'ятаю, чи виклав це де-небудь на сайті. Це такий хаос. Слід шукати, інакше я додам це кудись. Це досить цікаво. Проте ця презентація не сподобалася одному з присутніх на семінарі.
— Не розумію, чому Петі використовує такий складний апарат, щоб довести симетрію між двома куспідальними точками кроскапи. Є набагато простіший спосіб.
І він намалював на дошці зображення сфери, стиснутої двома стержнями, які з'єднані, і отримав насправді систему самоперетинів у вигляді відрізка, обмеженого двома куспідальними точками, як у кроскапи. Але, на жаль, і він це помітив, це не кроскапа.
— Диявол, а що ж це? — запитав хтось.
Просто сфера з двома куспідальними точками. Якщо зробити їх збігатися, то лінія самоперетину перетвориться на просте коло. І ми отримуємо внизу ліворуч (у перерізі) інсуювання сфери, яке потрібно лише перетворити на вкладення. Крім того, можна перейти до поліедричної версії цієї поверхні:
Вона двостороння, кривина — 2π.
Тож можна досить багато гратися з цими «субмерсіями». Нехай є інсуювання тора, яке полягає у обертанні символу «нескінченність» або «вісімки» навколо осі.
Техніка злиття куспідальних точок дозволяє швидко отримати стандартне вкладення тора, як показано на наступних малюнках.
Але іноді речі не виявляються такими простими та очевидними. Наприклад, узяв сферу, стиснув її двома відрізками, довжина яких тепер менша за діаметр. Отримуємо дві куспідальні точки.
Оскільки в неї можна вписати стрічку Мебіуса, ця поверхня — одностороння. Зображено її поліедричну форму, що дозволяє розрахувати загальну кривину. Вона виявляється нульовою. Якщо я не помиляюся, це, ймовірно, буття Кляйна. Зазвичай відомо лише найбільш класичне інсуювання, де лінія самоперетину — просте коло. Але є і інші, як ця. Визнаю, що ще не знайшов, як перетворити цей об'єкт на інсуювання буття Кляйна. Не знаю, чи всі ці інсуювання належать до одного групи гомотопії (у сфери — лише одна). Насамперед, ні, оскільки тор можна інсувати чотирма різними способами, які не можна з'єднати регулярною гомотопією. Поки що я грався, перетворюючи цю поверхню, створюючи ще дві куспідальні точки, і отримав дві кроскапи, з'єднані трубкою. Розрізавши їх, ми отримуємо характеристику Ейлера-Пуанкаре, що дорівнює нулю.
Ця «дивна поверхня» повинна перетворитися на одне з інсуювань буття Кляйна. Але яке саме? Проте ось одне, отримане обертанням «вісімки» навколо осі та додатковим півобертом:
![](/legacy/science/maths_f/C