Перетворення кроскапи на поверхню Боя, через поверхню Ромуанської Стейнера
Як перетворити кроскапу на поверхню Боя (праву або ліву, за бажанням), пройшовши через поверхню Ромуанської Стейнера.
27 вересня 2003 року
Сторінка 4
Тепер показуємо модель з іншого боку:
Планшет 14: Повторюємо ту саму операцію, створюючи третє «вухо» кривої самоперетину. У поліедричній формі воно має вигляд трьох квадратів, що мають спільну вершину — трійну точку T.
Планшет 15: обертаючи об'єкт, ви отримуєте поліедричну версію поверхні Боя, яку я раніше запропонував і представив у «Топологіконі» (де є розріз, що дозволяє зробити її).
Останній планшет: я спробував зобразити поверхню Стейнера (четвертого степеня, тоді як поверхня Боя — шостого) у процесі згинання та перетворення на поверхню Боя.
Ви бачите, що в «напівкруглій» формі для розуміння об'єкта потрібен досвід. Наше око дуже незручно відчувається, коли йдеться про об'єкт, де на одній лінії зору перекриваються більше двох шарів. Тому поліедрична форма має велике значення, оскільки вона робить доступними для загального користувача перетворення, які в геометрії вважаються складними, оскільки люди вкладають зусилля у виготовлення моделей самі. Під час цього варто зазначити, що залежно від вибору пари куспідальних точок отримуємо поверхню Боя «праву» або «ліву» (слова абсолютно довільні). Проектна площина іммерсуються двома «енантіоморфними» представленнями, дзеркальними один одному. Ви бачите, що можна перейти від правої поверхні Боя до лівої через «центральну» модель — поверхню Ромуанської Стейнера.
Було б, мабуть, приємно, якби такі малюнки були опубліковані в «Pour la Science» або «La Recherche». Але останні двадцять років я «заборонений до публікації» у цих журналах через «овнійський диверсійний» підхід. Дякую, панові Герве Тіс та Філіппу Буленжу. Я не можу вже порахувати кількість таких статей, які я надсилав цим виданням, і які мені відповідно відповіли. Нарешті звикли до свого стану «вигнанця».
Як цікава дитяча історія: у Франції існує «Премія Аламберта», призначена для визнання авторів книг з популяризації математики. Історію мені розповів один із членів комісії, яка вирішувала, хто має отримати премію (там є ще й гроші). Діалог:
-
Але ж чи не можна присудити цю премію Петі? Він зробив чудові роботи, як-от «Геометрикон», «Чорна діра» та «Топологікон».
-
Так, але він зробив ще й інше.
-
Про що ви маєте на увазі?
-
Він також написав «Стіну мовчання».
-
Ага, у цьому випадку...
Так, «Стіна мовчання», видана у 1983 році, — це альбом, присвячений МГД. І, як відомо, ця суперсільна наука має здатність (або жартівливу містичність), дозволяючи тарілкам рухатися з надзвуковою швидкістю без «випадання».
Приховайте цю науку, щоб я її не бачив
У мене є варіант «перевернення куба» з дуже красивою центральною моделлю, що виглядає досконало, але це не поліедрична версія варіанту Моріна. Усе це — моє власне вигадання. Колись, колись...
22 жовтня 2003 року: на цих сторінках не багато відвідувачів, якщо орієнтуватися на показник лічильника. 13 жовтня 2003 року я відвідав семінар у ЦМІ (Центр математики та інформатики, Чато-Гомбер-Марсель) за запрошенням Тротмана. Під час семінару я виставив колекцію близько тридцяти картонних моделей, які ви скоро побачите, оскільки їх зняв Христоф Тарді.
Коли ви проводите семінар, виникає певна атмосфера. На наступному фото — геометр, що висловлює своє здивування.
На задньому плані — частина виставлених моделей. У певний момент я задав запитання:
- Хто з вас уже бачив поверхню Ромуанської Стейнера? Підніміть руку.
Ніхто ніколи її не бачив. Тому я вважав за потрібне представити об'єкт, насправді віртуально, на ноутбуці, який я привіз, об'єкт, створений разом з Христофом Тарді, інженером, і Фредеріком Дескампом з Інституту Лауе-Ланжевена у Греноблі (ILL). Відразу ж виявилося, що це представлення дивує аудиторію, яка не звикла бачити математичні поверхні, що вільно обертаються.
Два картонні планшети, що видно на передньому плані, дозволили відобразити послідовність моделей у логічному порядку. Поліедричні моделі «зелені та жовті» ілюструють ключовий інструмент створення/знищення пари куспідальних точок. Найвіддаленіший білий об'єкт — поліедрична версія кроскапи, яка спочатку перетворюється на поліедричну версію поверхні Ромуанської Стейнера, а далі — на поверхню Боя «праву» або «ліву».
Аналіз макетів викликав різні зауваження серед аудиторії. Один із геометрів запитав:
- Якщо, прослідковуючи макети в цьому напрямку, можна перейти від кроскапи до Боя, то, зробивши навпаки, ми повинні змогти перетворити Боя на кроскапу.
Я відповів позитивно. Підбадьорений, мій співрозмовник додав:
- Якщо на етапі поверхні Ромуанської Стейнера ми зупинимося, то зможемо повернутися до дзеркальної версії поверхні Боя.
Я знову погодився. Але, на жаль, ніхто не запропонував пояснень цьому дивному світу, де замкнені поверхні мають куспідальні точки, що створюються або знищуються парами, а цілісність становить якесь розширення світу іммерсій. Слово «субмерсії» мені здається найкращим. Якщо читач знайде пояснення, буде дуже приємно.
Кривина, зосереджена в куспідальній точці
Її обчислюють, додаючи кути в вершині та порівнюючи суму з евклідовою сумою: 2π.
У верхньому лівому куті показано одну з багатьох поліедричних форм куспідальної точки. Розбирання об'єкта (праворуч) дає суму, що перевищує евклідову суму 2π на величину 2α. Звідси випливає, що кутова кривина, зосереджена навколо цієї точки C, становить -2α. Якщо кут α дорівнює π/2, тоді негативна кривина дорівнює c (малюнок у нижньому лівому куті). Насправді кривина, зосереджена в куспідальній точці, може набувати нескінченно багатьох значень. У нижньому правому куті збільшуємо суму кутів, і кривина стає < 2α. Збільшуємо негативну кривину.
Навпаки, можна отримати досить дивну ситуацію: зробити так, щоб кривина (кутова), зосереджена в точці C, була... нульовою:
Тепер можна виходити з поліедричної версії кроскапи, де є дві куспідальні точки, кожна з негативною кривиною, що дорівнює -π:
Є вісім «позитивних точок» з кривиною +π/2. Додаємо ще чотири «позитивні» з кривиною +π/4 і чотири «негативні» з кривиною -π/4.
Плюс дві куспідальні точки з кривиною -π.
Сума: 2π
Поділивши цю загальну кривину на 2π, ми отримуємо характеристику Ейлера-Пуанкаре для всіх представленнях проектної площини (як, наприклад, поверхні Боя).
Під час моєї лекції я згадав про мистецтво та спосіб перестановки двох куспідальних точок кроскапи, використовуючи перевернення сфери. Не пам'ятаю, чи виклав це де-небудь на сайті. Це такий хаос. Ще треба знайти, інакше я додам це де-небудь. Це дуже цікаво. Проте ця презентація не сподобалася одному з учасників семінару.
- Я не розумію, чому Петі використовує стільки устаткування, щоб довести симетрію між двома куспідальними точками кроскапи. Це можна зробити набагато простіше.
І він намалював на дошці зображення сфери, стиснутої двома стержнями, які з'єднані, що дає дійсно сукупність самоперетину у вигляді відрізка з двома куспідальними точками на кінцях, як у кроскапи. Але, на жаль, і він це усвідомив, це не кроскапа.
- Диявол, а тоді що це? — запитав хтось.
Це просто сфера з двома куспідальними точками. Якщо зробити їх збігатися, ми отримаємо лінію самоперетину, яка стане простим колом. І внизу, ліворуч (у перерізі), ми отримуємо іммерсію сфери, яку потім лише треба перетворити на вкладення. Крім того, ми можемо перейти до поліедричного представлення цієї поверхні:
Це двостороння поверхня, кривина — 2π.
Отже, можна досить багато гратися з цими «субмерсіями». Нехай є іммерсія тора, що полягає в обертанні знаку «нескінченність» або «вісімки» навколо осі.
Техніка злиття куспідальних точок дозволяє швидко перейти до стандартного вкладення тора, як показано на наступних малюнках.
Але іноді речі не виявляються такими простими та очевидними. Наприклад, узята сфера стиснута між двома відрізками, довжина яких тепер менша за діаметр. Ми отримуємо дві куспідальні точки.
Оскільки в неї можна вписати стрічку Мебіуса, ця поверхня — одностороння. Показано її поліедричне представлення, що дозволяє обчислити загальну кривину. Ми отримуємо нуль. Якщо я не помиляюся, це, мабуть, пляшка Клейна. Зазвичай відома лише найбільш класична іммерсія, де лінія самоперетину — просте коло. Але є й інші, як ця. Визнаю, що ще не знайшов, як перетворити цей об'єкт на іммерсію пляшки Клейна. Не знаю, чи всі ці іммерсії належать до одного групи гомотопії (у сфери — лише одна). Насамперед — ні, оскільки тор можна іммерсувати чотирма різними способами, які не можна з'єднати регулярною гомотопією. Поки що я грався, перетворюючи цю поверхню, створюючи ще дві куспідальні точки, і отримавши дві кроскапи, з'єднані трубкою. Розрізавши їх, ми отримуємо характеристику Ейлера-Пуанкаре, що дорівнює нулю.
Ця «дивна поверхня» повинна перетворюватися на одну з іммерсій пляшки Клейна. Але яку саме? Проте ось одна, отримана обертанням «вісімки» навколо осі та додатков