Можна думати як краб?
27 лютого 2009 року
Ми висловлюємося, серед іншого, за допомогою мови, яка, належить, відображає нашу логічну структуру. У нашій мові ми створили двозначну структуру з «ТАК» та «НІ», «ПРАВДА» та «ФАЛЬШ», що призводить до «аристотелівської думки», згідно з якою кожне твердження (логік скаже «пропозиція») може бути лише ПРАВДИВИМ або ФАЛЬШИВИМ. Це називається
принцип виключеного третього.
На жаль, досвід не відповідає теорії, і наша фразеологія багата нерозв'язними твердженнями, які ні правдиві, ні хибні, наприклад:
Я брешу
Протягом останнього століття логіки витрачали безліч уяви, намагаючись створити не двозначну логіку. Наведемо приклад тривалентної логіки — так звану
розмиту логіку,
в якій значення істинності:
Правда Невизначено Хиба
Ця логіка довела свою практичну ефективність у автоматизованих системах, контролю процесів (у інженерії).
Також були спроби створити чотиривалентну логіку, найбільш класична з яких має наступні значення істинності:
Правда
Хиба
Правда і хиба
Ні правда, ні хиба
Спроба розширення, яка не виявилася плідною.
У своїй праці:
Щоб безпосередньо зв'язатися з автором:
Помилка
Автор повідомляє нас про помилку в одному з таблиць, поданих у його книзі. Йдеться про таблицю на сторінці 29, кольорова версія якої — на сторінці 135.
Спочатку дякуємо за інтерес до цієї роботи та за вибір придбання книги.
Таке трапляється... У нас велика помилка! У третій рядку та стовпці замість 1 помилково стоїть 0. Це виправлення буде надіслане всім у найближчі дні.
Крім того, знаки = і || розташовані по діагоналях: ці подвійні лінії, побачені під певним кутом, дають знак =, а під іншим кутом — ||, який слід розуміти як «відмінний», де вони знаходяться.
Сподіваємося, це дозволить вам продовжити читання. Нещодавно ще раз висловлюємо найглибші подяки (та вибачення!) і залишаємося на вашому розпорядженні, якщо ви знову зіткнетесь з сумнівом... або новою помилкою!
Рисунок 2.2, який слід замінити на наведену вище таблицю
Деніс Секо де Люсена запрошує нас на дивну експедицію, з якої читач може не вийти без пошкодження. Почнемо з аналізу мови — це шлях кожного логіка. Автор пропонує ввести те, що він називає поняттям
трансверсальності.
З цієї точки зору будь-яке твердження може мати чотири форми, симетричні попарно, утворені «двома симетричними парами». Надзвичайно багато прикладів існує в мові, але «четверте твердження» іноді важко сформулювати, іноді взагалі не має відповідного слова в мові.
Наведемо спочатку приклади, де ця «трансверсальність» виражається чітко. Наприклад, розглянемо поняття руху. Існує чотири способи «рухатися»:
Рухатися вперед
Рухатися назад
Зупинка
Рух
Відразу видно пари з їх симетрією: рух назад — це протилежність руху вперед і навпаки. Рух — це протилежність зупинки і навпаки.
Якщо звернутися до топології, то ми введемо чотири прислівники або прислівникові вирази:
Зовні
Всередині
На межі
Де-небудь
29 лютого 2010 року
: Мій друг Жак Легаланд запропонував, щоб четверте твердження було краще сформульовано так:
Зовні
Всередині
На межі
Ніде
Якщо звернутися до кольорів:
Білий
Чорний
Сірий
Посічений
27 лютого 2010 року
: Дже запропонував:
Білий
Чорний
Сірий
Прозорий
Граючи з часом:
До
Після
Зараз
Ніколи
Прислівник «ніколи» є часовим еквівалентом прислівникового виразу «ніде» (див. вище).
Цей спосіб мислення нагадує текст уммітів про логіку, який, якщо я не помиляюся, згадував чотири значення істинності:
Правда
Хиба
Правда і хиба
Неперекладене
Якщо повернутися до значень істинності класичної чотиривалентної логіки:
Правда
Хиба
Правда і хиба
Ні правда, ні хиба
27 лютого 2010 року
: Необхідно переосмислити четверте значення як «не відповідає цьому типу класифікації»:
Правда
Хиба
Правда і хиба
Не відповідає цьому типу класифікації
Розглянемо дійсні числа. У нас є:
Додатне
Від’ємне
Нуль (у сенсі і додатного, і від’ємного)
Четверте твердження може бути:
Додатне
Від’ємне
Нуль (у сенсі і додатного, і від’ємного)
Уявне
Перейдемо до логічного слідування:
Підлегле
Підлегле іншому
Залежне від
Незв’язане з
Ми бачимо, що виникають чотири способи «сказати», які відрізняються від класичної чотиривалентної логіки, про яку йшлося раніше. Симетрія останніх двох тверджень інша. Автор пропонує називати ці пари тверджень, характеристик — «трансверсальними».
Те, як ми подаємо матеріал, не відповідає тому, що використовує автор у своїй книзі, яку я рекомендую прочитати. Але вже на початку ви скажете: «Що тут заховано?». Це питання відведе вас далеко. Автор, науковець, знайшов свій початок у листі, який отримав у 1992 році від таємничих кореспондентів під назвою «умміти», лист, адресований з Ріаду, Саудівської Аравії. Для тих, хто не знає цієї історії, корисно нагадати контекст. У масі документів, які були привезені з Іспанії з середини 70-х років, автори цих текстів надзвичайно підкреслювали необхідність відмовитися від аристотелівської логіки та перейти до
чотиривалентної логіки.
Протягом багатьох років я намагався, роблячи різні спроби. У 1992 році у мене був перший Mac Intosh, що працював на 2 МГц, і звісно ж повністю не мав модема або будь-якого іншого способу зв'язку ззовні. У цьому комп’ютері я записував думки, які були відомі лише мені. Під впливом теореми Геделя я згадав, що вона ґрунтується на арифметиці (обробка натуральних чисел), аксіоматизованій наприкінці минулого століття математиком Пеано. Математик Гаусс у своєму часі винайшов те, що тепер називають «цілими Гауса», тобто комплексні числа з цілими значеннями.
Я помітив, що класично ці цілі Гауса розглядаються як пари натуральних чисел (a, b), і ніяка аксіоматизація не була спробована для їх побудови, крім того, що вони «складаються з двох цілих чисел».
Декілька днів після того, як я записав ці думки на свій жорсткий диск, я отримав листа з Саудівської Аравії, який містив ті самі думки.
Зміст цього листа
Так виходить, що Деніс, як науковець, знайшов у цьому дивному листі початок десятирічної дослідницької діяльності, яку він описав у книзі, яку він щойно опублікував. Оскільки джерело дуже екзотичне, навіть суперечливе, зрозуміло, чому він вирішив видати її під псевдонімом.
Не знаю, чи пам’ятаєте ви книгу Жюля Верна «Путівка до центру Землі», де герої грають з таємничим повідомленням, залишеним Аарне Сакнудсеном. Об’єднуючи його елементи, вони нарешті виявляють шлях до центру Землі. Тож очікуйте, що у книзі Деніса буде щось подібне.
Він не перший, хто спробував цю авантюру, але досі всі спроби виявилися безплідними, незважаючи на іноді привабливий вигляд. Я думаю про спробу канадця Нормана Молланта на сайті ummo.science. Математик сказав би: «Можна створити алгебри з нескінченністю», і гратися ними, як грається з конструктором Лего. Створення елементів нового Лего — це інша справа.
Де ж «що» у роботі Деніса?
Він починає з того, що відшукує шлях, вказаний у листі з Ріаду, до математичних об’єктів, які були винайдені ірландським математиком Гамільтоном у 1843 роц — це
кватерніони.
Їх найчастіше зустрічають у працях у формі розширення комплексних чисел:
Q = a + b i + c j + d k
де
i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k, i j² = k, j i j = -j i
(антікомутативність)
j k = i, j k = -k j
k i = j, k i = -i k
Добутки є
антікомутативними
Коли Гамільтон винайшов ці кватерніони та виявив величезну кількість їх властивостей, він був настільки захоплений своєю відкриттям, що сказав:
— Все це, звичайно, має застосування у фізиці, але хто ж знає, яке саме?
Він, звісно, не міг уявити, що цей зв’язок буде встановлено з появи квантової механіки. Наприклад, матриці Паулі — це кватерніони.
Автор показує, як чисто геометричні міркування, виходячи з змісту листа, дозволяють прийти до геометричної побудови кватерніонів (через «комплексну площину з двома ортогональними сторонами»). Книга називається «Таємниця листа з Ріаду». Ця таємниця тут розкрита. У цьому листі йдеться про відому теорему Ферма, яка стверджує, що рівняння з цілими значеннями
a^n = b^n + c^n
має розв’язок лише для n ≤ 2.
Математик Лагранж — автор схожої теореми, яку раніше Ферма теж сформулював як гіпотезу: будь-яке ціле число є сумою чотирьох квадратів.
N (довільне ціле число) = a² + b² + c² + d²
Необхідно включити нуль серед цих цілих чисел, щоб:
3 = 1² + 1² + 1² + 0²
Пізніші доведення, засновані на теоремі Лагранжа, використовують кватерніони та міркування індукції.
Бажав би, щоб Деніс знайшов доведення теореми Лагранжа за допомогою кватерніонів і опублікував його на своєму сайті.
Нехай кватерніон:
Q = (a, b, c, d)
Його спряжений визначається як:
спряжений Q = Q (a, -b, -c, -d)
Деніс формулює гіпотезу, що теорема Ферма у формі, яку вона має в оригіналі, є підпродуктом кватерніонного запису, згідно з яким рівняння:
(Q1 Q1)^n = (Q2 Q2)^n + (Q3 Q3)^n
де кватерніони мають цілі компоненти, має розв’язок лише для n ≤ 2.
27 лютого 2010 року
: Зауважую, що ці два твердження еквівалентні, оскільки модуль кватерніона (a, b, c, d) дорівнює a² + b² + c² + d² — тобто
ціле число
за теоремою Лагранжа.
Ця відступа може відлякати звичайного читача. Але насправді вся книга залишається дуже доступною. Багато прикладів трансверсальності утворюють гру з мовою, що дуже цікава і стимулююча, і читач може насолоджуватися пошуком інших прикладів. Геометричні схеми теж дуже зрозумілі.
Ця книга, здається, є першим каменем у більш великій будівлі, відкриттям нової мислення.
Щоб замовити книгу (18 євро з доставкою, 144 сторінки):
2 березня 2009 року
:
Читач, пан Крістіан Петро, надав нам PDF-файл із доведенням теореми Лагранжа про чотири квадрати.
Теорема Лагранжа про чотири квадрати
Інша зауваження:
добуток модулів двох кватерніонів дорівнює модулю їх добутку. Доведення належить математикові Ейлеру (1750 рік).
(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² +
(a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² +
(a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² +
(a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²
Це означає, що модуль добутку двох кватерніонів:
A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)
дорівнює модулю кватерніона:
C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄,
a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃,
a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃,
a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)
Пан Петро сумнівається, що підхід на основі кватерніонів може призвести до досить простого доведення (порівняно з доведенням Вайлса, яке займає сотні сторінок!), навіть якщо тисячі математиків розбивали собі голови над цією проблемою.
Я не маю особистої думки. Але все ж зроблю дві зауваження.
Відомо, що натуральні числа можна записувати в будь-якій системі числення, зокрема, прості числа зберігають цю властивість незалежно від того, у якій системі вони записані. Тож краще взяти найпростішу: двійкову систему із двома елементами — 0 і 1.
Італійський математик Джузеппе Пеано (1858–1932) надав
п’ять аксіом,
які є основою арифметики натуральних чисел.
Італійський математик Джузеппе Пеано
Елемент, який називається нулем і позначається: 0, є натуральним числом.
Кожне натуральне число n має єдиний наступник, позначений s(n) або Sn.
Нуль не є наступником жодного натурального числа.
Два натуральних числа з однаковими наступниками рівні.
Якщо множина натуральних чисел містить 0 і містить наступника кожного з її елементів, то ця множина дорівнює N.
Перша аксіома дозволяє прийняти, що множина натуральних чисел не порожня, третя — що вона має перший елемент, а п’ята — що вона задовольняє принцип індукції.
На основі цих п’яти аксіом арифметика Пеано приходить до логіки першого порядку, яка не уникнула
теореми неповноти Геделя.
Те, що спричинило відправлення листа з Ріаду, була моя помітка про цілі Гауса z = a + i b, де a і b — натуральні числа.
Мені здавалося, що не існує аксіоматизації, власної для арифметики цілих Гауса, які мені здавалися побудованими «двічі арифметикою Пеано»,
що є іншим.
З цієї точки зору ці цілі Гауса, замість того щоб бути «точками регулярної сітки», стають
парами точок (a, b), взятих на відрізках прямих. Арифметика цілих Гауса стає таким чином «двічі арифметикою Пеано».
Зараз я задаю питання:
— Чи існує множина аксіом, що визначає арифметику цілих кватерніонів? Якщо так, на якій логіці ми повинні прийти? Чи буде ця логіка чотиривалентною? Чи буде вона, на додаток, ... повною, що означає, що поза цими чотирма значеннями істинності не існує п’ятого, тобто нерозв’язного твердження, яке не вписується в чотири випадки, що утворюють логічний фільтр з чотирма значеннями?
Я не можу брати участь у дискусіях щодо цих питань із читачами, бо дуже зайнятий складанням нового альбому, присвяченого механіці рідин. Усі запитання цього типу слід звертати до автора книги, Деніса.
Тим не менш, я покажу у цьому альбомі, що навіть наприкінці 50-х років (коли я був студентом Національної вищої школи аеронавтики в Парижі), деякі концепції, які сьогодні
повністю інтегровані у світ аеронавтики
— як цивільної, так і військової — вважалися моїми викладачами порушенням законів фізики.
Я також наведу зауваження пані Кутюр’є, який, на мою думку, зараз директор Оbservatoire de Paris, що у 1976 році щодо моєї теорії знищення ударних хвиль силами Лапласа сказав:
— Це абсурд. Твоя ударна хвиля повинна бути де-небудь знайдена...
Математика, як і фізика, може, можливо, витягнути нового кролика з двосторонньої шапки, яку ми вважали досить добре вивченою.
Новинки
Гайд
Головна сторінка