Перевертання сфери та ін'єкція бутельки Кляйна

Перевертання сфери

7 грудня 2004 року

Сторінка 1

Вступ.

У наступному ми розглянемо замкнені поверхні, такі як сфера, тор та інші. Це поверхні в тому розумінні, як його розуміє звичайна людина, тобто об'єкти з двома вимірами, які ми відображаємо у тривимірному евклідовому просторі R3, який є нашим уявним простором представлення. Ці поверхні можуть мати різні типи представлення. Якщо вони не перетинають себе, ми кажемо, що вони вкладені (у R3). Якщо вони перетинаються, ми говоримо про ін'єкцію, а це перетин відображається наявністю множини самоперетину (self-intersection).

У наших вкладеннях ми припускаємо, що дотична площина змінюється неперервно, і поверхня не має особливостей, як, наприклад, вершина конуса. Наші поверхні будуть регулярними.

У випадку ін'єкцій ми вимагаємо, щоб вздовж ліній самоперетину дві дотичні площини до перетинаючихся частин були різними.

Світ геометрії, як його уявляє математик, дуже відрізняється від фізичного світу. Те, що поверхні можуть перетинати себе, не створює ніяких проблем. У фізичному світі таке неможливо. Але це можливо в метафізичному світі. Наприклад, у Біблії сказано, що коли мертві відродяться, вони стануть "світлими тілами". Тоді вони зможуть проходити крізь будь-що і, в принципі, зможуть перетинати себе. Отже, коли настане час Суду останнього, якщо ви будете гуляти по Римові у вигляді світлого тіла, загублені і шукаючи площу Навона, ви можете захотіти запитати дорогу у іншого відродженого людини, який має таку саму зовнішність, як і ви. Припустимо, що людина, яку ви запитуєте, рухається у протилежному напрямку від цієї площі. У звичайному фізичному просторі, щоб вказати вам правильний шлях, їй довелося б обернутися навколо себе, щоб вказати пальцем у цьому напрямку. Але якщо вона рухається у вигляді світлого тіла, це обертання більше не потрібно. Вона може вказати пальцем на свій пупок і перетнути себе. Коли її рука з'явиться з-за спини, їй залишиться лише сказати вам: "ось туди". Ввівши руку крізь свій живіт, вона створить у своєму тілі множину самоперетину, що складається з двох кіл, яка зникне, коли вона повернеться до нормальної конфігурації.

Якщо людина закриє рот, закріпить заслінку на носі, щоб закрити його, і ігнорувати інші природні отвори, її тілесна оболонка набуває топології сфери S2. Уявімо собі відроджену людину у вигляді світлого тіла, у якої природні отвори закриті. Ми знаємо, що вона може перетинати себе, тобто її тілесна оболонка може перейти від стану вкладення до стану ін'єкції. Один із метафізичних питань, що виникло, полягав у тому, чи може відроджена людина у вигляді світлого тіла повернути себе, не створюючи згортань.

Маленька заувага на прохід. Фокусники знають, як використовувати "магічні кола", які можуть перетинатися "магічним чином". Можна уявити собі представлення поверхонь за допомогою певного "магічного сітка", де дві поверхні, зображені тут чорним і рожевим кольором, можуть легко перетинатися одна через одну.

Магічне сітко

У будь-якому разі, слід визнати, що часто між математикою та магією немає великої різниці. Двадцять років тому я створив комікс: "Топологікон". Він зараз вийшов із обігу і майже не знайти, крім як у колекційних зібраннях. На одній із сторінок було зображено ось це:

Дуже шкода, що видавництво Belin вирішило залишити цю серію. Слід сказати, що при вартості виробництва лише трохи більше одного євро, продаж альбомів за 13 євро (плюс доставка), через пошту, крім того, що це створювало прибуток у 12 євро, тобто більше 92 відсотків від ціни продажу, не відповідає дуже очевидній комерційній стратегії, особливо для чорно-білих ілюстрацій.

Розглянемо сферу S2, вкладену в R3. Припустимо, що її зовнішня поверхня сіра, а внутрішня — рожева. Ми можемо натиснути на дві протилежні точки, які ми умовно називаємо "північний полюс" і "південний полюс", доки вони не зійдуться в одній точці. Це можна зробити, наприклад, з пончиком. Коли мова йде про математичний пончик (ми не знаємо, чи відроджуються пончики чи ні у вигляді світлих тіл), дві полярні області, після того як зійшлися в одній точці, можуть перетинатися одна через одну по кривій самоперетину, яка має форму кола. Заздалегідь скажемо, що ця поверхня зазнала катастрофи типу Do.

Тоді може виникнути спокуса спробувати повернути пончик, сферу, продовжуючи цю операцію. Але тоді утвориться випуклість, яка перетвориться на неприємний згортання, а точніше, поверхню зворотного згинання (фігура d).

На початку 1950-х років важливе питання про те, чи можна повернути метафізичний пончик без згортань, залишалося нерозв'язаним. Насправді, всі вважали, що це абсолютно неможливо. Але в 1957 році математик Стівен Смейл (який отримав медаль Філдса, але за іншу роботу) довів, що різні ін'єкції сфери S2 у R3 утворюють єдину множину, і завжди можна знайти послідовність неперервних деформацій ін'єкцій (так звану регулярну гомотопію), що дозволяє перейти від одного стану до іншого. Висновком було, що можна перейти за допомогою послідовності неперервних ін'єкцій від стандартного вкладення сфери S2 до антиподального вкладення. Іншими словами: можна повернути сферу без згортань, якщо дозволити їй самій себе повернутися.

Смейл був під керівництвом Рауля Ботта. Той запитав свого учня, як це зробити, і Смейл відповів, що він не має ніякого уявлення, але його теорема абсолютно непошкоджена. Смейл не бачив у просторі, але йому це було байдуже (як це часто буває у багатьох геометрів). І, якщо бути чесним, після доведення своєї теореми він зовсім не хвилювався, як можна реалізувати це, і швидко перейшов до іншої теми, залишивши своїх колег-математиків у повній розгубленості. Я вважаю, що це не дуже добре — створювати проблеми і потім залишати людей самим шукати рішення, через десять років.

Слід сказати, що уявити ін'єкції у своїй голові дуже важко. Проте ми знаємо, що деякі поверхні можна представити у R3 лише таким чином. Наприклад, бутелька Кляйна.

Бутелька Кляйна

Тут вона представлена за допомогою мережі-системи координат, що складається з двох множин замкнених кривих, як і тор. Ми можемо розмітити бутельку Кляйна без створення особливостей мережі. Але, як видно, ця поверхня обов'язково перетинає себе по замкненій кривій — колу. Тому ми не можемо вкласти бутельку Кляйна у R3. Я пробував — не вийшло. Ми можемо лише ін'єкціювати її. Благодаря моїм художнім здібностям ви досить добре уявляєте цей об'єкт. Але коли йшлося про повернення сфери, довелося розглядати набагато складніші конфігурації. Спосіб їх представлення був не дуже зручним. Деякі використовували пластилін. Коли ми бачили, як вони розмовляють між собою на конференціях, вони зазвичай відходили вбік і розкривали перед своїми колегами коробки для взуття або картонні капелюхи, що містили більш-менш монструозні предмети. Нижче наведений малюнок, що відображає найзручніший спосіб створення таких об'єктів і їх обробки: за допомогою так званого "мідного дроту", сплаву, що досить гнучкий, щоб його можна було легко згинаючи, але який зберігає свою еластичність. Найкращий спосіб — це матеріалізувати точки перетину ліній (ми рекомендуємо стержні діаметром 2 мм), закріпивши їх за допомогою дротяних зв'язок. Перевага полягає в тому, що їх можна рухати, принаймні до тих пір, поки не вважаємо, що об'єкт набув остаточної форми. Потім можна припинити рух за допомогою краплі клею.

У практиці дуже рідко доводиться користуватися бутельками Кляйна. Нижче — фотографія бутельки Кляйна, яку я використовую для своїх особистих потреб.

Ці об'єкти, якщо у вас є почуття форми, дуже красиві. Я зробив кілька таких, коли був професором скульптури в Школі прекрасних мистецтв у Альзасі. Але перед тим, як я перейшов до цієї техніки, було багато проб і помилок, коли ми змішували м'який дріт і картон, що давало результати з дуже сумнівною естетикою. Я пам'ятаю, що одного разу мені довелося їхати потягом з Марселі, щоб доставити до Парижа моєму шанованому другові-математику Андре Лішніровічові кілька поверхонь, які я вдалося зробити достатньо виразними. Особливо це стосувалося поверхні Боя, на якій я наклав картографію, зосереджену навколо одного полюса. В результаті вийшов справжній шедевр, який був виставлений протягом двадцяти років у залі Pi в Палаці Відкриття в Парижі. Але рік тому керівництво музею вважало, що ця поверхня вийшла з моди, і вона тепер лежить у підвалі або в складі. Надіюся, що її не знищили під час перевезення. Все це для того, щоб сказати, що тепер ви не зможете побачити поверхню Боя ніде, крім книжок або на CD-ROM, на якому я записав свої 18 наукових коміксів у форматі PDF, включаючи "Топологікон". Як отримати цей CD-ROM.

Але повернемося до того подорожі, яку я здійснив з Марселі до Парижа. Я вже був навантажений двома валізами, і вирішив взяти з собою три моделі. Єдиним виходом було повісити їх навколо шиї. Але коли я пройшов через зал залізничного вокзалу і побачив, як люди дивилися на мене, я зрозумів, що вони уявляли мене як божевільного, який отримав дозвіл вийти з лікарні. Було б марно намагатися пояснити протилежне, і я мав знести це страждання з усією можливою гідністю.

Цікаво, що люди, які створюють такі речі, дуже рідкісні. У США був математик на ім'я Чарльз Пуг, який працював у відділі математики університету Берклі. Я матиму змогу згадати про нього пізніше. Пуг був справжнім генієм у роботі з сітками для курей, але особисто я завжди більше любив техніку мідного дроту.

Повернемося до питання повернення сфери. Першим, хто впорався з цією проблемою, був геометр Антоні Філліпс. Він опублікував свою роботу, тобто послідовні малюнки, у журналі "Scientific American" у 1967 році. Існує кілька способів повернути сферу. Один з них полягає у тому, щоб кожну точку сфери привести до збігу з її антиподом. У цьому випадку вона набуває форму поверхні Боя. Я завжди мріяв про спонсора, який допоможе створити прекрасну скульптуру, що представляє Землю, зігнуту у форму поверхні Боя. Оскільки я не міг побудувати об'єкт, я зробив ілюстрацію обкладинки "Топологікон":

**Земля, з