Перевертання сфери та ін'єкція бутельки Кляйна

Перевертання сфери

7 грудня 2004 року

Сторінка 1

Вступ.

У наступному ми розглянемо замкнені поверхні, такі як сфера, тор та деякі інші. Це поверхні в тому розумінні, як його розуміє звичайна людина, тобто об'єкти з двома вимірами, які ми зображуємо у тривимірному евклідовому просторі R3, який є нашим уявним простором представлення. Ці поверхні можуть мати різні способи представлення. Якщо вони не перетинають себе, ми кажемо, що вони вкладені (у R3). Якщо вони перетинаються, ми говоримо про ін'єкцію, а це перетин відображається наявністю множини самоперетину (self-intersection).

У наших вкладеннях ми припускаємо, що дотична площина змінюється неперервно, і поверхня не має особливостей, як, наприклад, вершина конуса. Наші поверхні будуть регулярними.

У випадку ін'єкцій ми вимагаємо, щоб вздовж ліній самоперетину дві дотичні площини до перетинаючихся частин були різними.

Світ геометрії, як його уявляє математик, дуже відрізняється від фізичного світу. Те, що поверхні можуть перетинати себе, не створює для нього ніяких проблем. Фізичний світ не дозволяє такого. Але це стає можливим у метафізичному світі. Так, у Біблії сказано, що коли мертві відродяться, вони стануть "світлими тілами". Тоді вони зможуть проходити крізь будь-що і, взагалі кажучи, зможуть перетинати себе. Отже, коли настане час Великого Суду, якщо ви прогулюватиметеся по Римові у вигляді світлого тіла, загубившись і шукаючи площу Навона, ви можете захотіти запитати дорогу у іншого відродженого людини, що має такий самий вигляд, як і ви. Припустимо, що людина, яку ви запитуєте, рухається у протилежному напрямку від цієї площі. У звичайному фізичному просторі щоб вказати правильний шлях, їй довелося б обернутися навколо себе, щоб вказати пальцем у цьому напрямку. Але якщо вона рухається у вигляді світлого тіла, це обертання більше не потрібне. Вона може вказати пальцем на свій пупок і перетнути себе. Коли її рука з'явиться з-за спини, їй залишиться лише сказати вам: "ось туди". Пробивши руку крізь свій живіт, він створить у своєму тілі множину самоперетину, що складається з двох кіл, яка зникне, коли він повернеться до нормальної конфігурації.

Якщо людина закриє рот, закріпить заслінку на носі, щоб закрити його, і ігнорувати інші природні отвори, її тілесна оболонка набуває топології сфери S2. Уявімо собі відроджену людину у вигляді світлого тіла, у якої природні отвори закриті. Ми знаємо, що вона може перетинати себе, тобто її тілесна оболонка може перейти від стану вкладення до стану ін'єкції. Одне з метафізичних питань, що виникло, полягало у тому, чи може відроджена людина у вигляді світлого тіла перевернути себе, не створюючи згортань.

Маленька зауваження на прохід. Фокусники знають, як використовувати "магічні кола", які можуть перетинатися "магічним чином". Можна уявити собі представлення поверхонь за допомогою певного "магічного сітка", коли дві частини, зображені тут чорним і рожевим кольорами, можуть легко перетинатися одна через одну.

Магічне сітко

Зрештою, треба визнати, що часто між математикою і магією немає великої різниці. Двадцять років тому я створив комікс: "Топологікон". Він зараз вичерпаний і майже недоступний, крім як колекційний екземпляр. На одній із сторінок можна було побачити це:

Дуже шкода, що видавництво Belin вирішило зупинити цю серію. Треба сказати, що з ціною виробництва більше ніж на один євро продавати альбоми за 13 євро (плюс доставка), через пошту, крім того, що це дає прибуток у 12 євро, тобто більше 92 відсотків від ціни продажу, це не дуже зрозуміла комерційна стратегія, особливо для чорно-білих ілюстрацій.

Розглянемо сферу S2, вкладену в R3. Ми припускаємо, що її зовнішня поверхня сіра, а внутрішня — рожева. Ми можемо натиснути дві протилежні точки, які ми називаємо "північний полюс" і "південний полюс", доки вони не зійдуться в одній точці. Це можна зробити, наприклад, з пончиком. Коли йдеться про математичний пончик (ми не знаємо, чи відроджуються пончики чи ні у вигляді світлих тіл), дві полярні області, після того як зійшлися в одній точці, можуть перетинатися одна через одну по кривій самоперетину, що має форму кола. Заздалегідь ми скажемо, що ця поверхня зазнала катастрофи типу Do.

Можна було б спробувати перевернути пончик, сферу, продовжуючи цю операцію. Але тоді утвориться випинання, яке перетвориться на неприємне згортання, або точніше, поверхню зворотного згортання (фігура d).

На початку 50-х років питання про те, чи можна перевернути метафізичні пончики без згортань, залишалося нерозв'язаним. Насправді, всі вважали, що це абсолютно неможливо. Але в 1957 році математик Стівен Смейл (який отримав медаль Філдса, але за іншу роботу) довів, що різні ін'єкції сфери S2 у R3 утворюють єдину множину, і завжди можна знайти послідовність неперервних деформацій ін'єкцій (які також називають регулярною гомотопією), що дозволяє перейти від одного стану до іншого. Висновок полягав у тому, що ми повинні були змогти перейти за допомогою послідовності неперервних ін'єкцій від стандартного вкладення сфери S2 до антиподального вкладення. Іншими словами: ми повинні були змогти перевернути сферу без згортань, якщо дозволити їй самій перевернутися.

Наставник Смейла звали Рол Ботт. Він запитав свого учня, як він це зробить, і Смейл відповів, що він не має жодного уявлення, але що його теорема абсолютно непошкоджена. Смейл не бачив у просторі, але це йому було байдуже (як це буває з багатьма геометрами). І, якщо бути чесним, після того як він довів свою теорему, він зовсім не переймався способом реалізації цього, і швидко перейшов до іншої теми, залишивши своїх колег-математиків у повному розгубленні. Я вважаю, що це не дуже добре — створювати проблеми і потім залишати людей самим шукати рішення, через десять років.

Треба сказати, що уявити ін'єкції у своїй голові дуже важко. Проте ми знаємо, що деякі поверхні можна представити у R3 лише таким чином. Наприклад, бутелька Кляйна.

Бутелька Кляйна

Тут вона зображена за допомогою сітки-системи координат, що складається з двох наборів замкнених кривих, як і тор. Ми можемо змоделювати бутельку Кляйна без створення особливостей сітки. Але, як видно, ця поверхня необхідно перетинає себе по замкненій кривій, колу. Тому ми не можемо вкласти бутельку Кляйна у R3. Я пробував — не вийшло. Ми можемо її лише ін'єктувати. Благодаря моїм навичкам малювання ви приблизно уявляєте собі цей об'єкт. Але коли потрібно було перевернути сферу, довелося розглядати набагато складніші конфігурації. Спосіб їх представлення був не дуже зручним. Деякі використовували пластилін. Коли ми бачили, як вони розмовляють між собою на конференціях, вони зазвичай відходили вбік і відкривали перед колегами коробки для взуття або картонні капелюхи, що містили більш-менш жахливі об'єкти. Нижче наведений малюнок, що нагадує найзручніший спосіб створення таких об'єктів і їх маніпулювання: за допомогою так званого "мідного дроту", сплаву, що досить гнучкий, щоб його можна було легко згинати, але який зберігає свою еластичність. Найкращий спосіб — це матеріалізувати точки перетину ліній (ми рекомендуємо використовувати стержні діаметром 2 мм), закріпивши їх за допомогою дротяних зв'язок. Перевага полягає в тому, що їх можна рухати, принаймні доти, доки об'єкт не набуде остаточної форми. Потім можна зупинити рух за допомогою краплі клею.

У практиці дуже рідко доводиться використовувати бутельки Кляйна. Нижче — фотографія бутельки Кляйна, яку я використовую для особистих потреб.

Ці об'єкти, якщо ви маєте якийсь смак до форм, дуже красиві. Я зробив кілька таких, коли був викладачем скульптури в Експериментальній школі мистецтв у Альзасі. Але перш ніж я перейшов до цієї техніки, було багато спроб, коли ми змішували м'який дріт і картон, що давало результати з дуже сумнівною естетикою. Я пам'ятаю, що одного разу мав їхати потягом з Марселя до Парижа, щоб передати моєму шанованому другові, математику Андре Ліхнеровічу, кілька поверхонь, які я зміг представити досить влучно. Особливо це стосувалося поверхні Боя, на якій я наклав картографію, зосереджену на одному полюсі. Це врешті-решт дало дуже красивий об'єкт, який був виставлений протягом двадцяти років у залі pi Музею відкриття в Парижі. Але рік тому керівництво музею вважало, що ця поверхня вийшла з моди, і вона тепер лежить у складі або підвалі. Надіюся, що її не знищили під час перевезення. Все це для того, щоб сказати, що тепер ви не зможете побачити жодної поверхні Боя ніде, крім книг або на CD-ROM, на якому я записав свої 18 наукових коміксів у форматі PDF, включаючи "Топологікон". Як отримати цей CD-ROM.

Але повернемося до того подорожі, яку я здійснив з Марселя до Парижа. Я вже був навантажений двома валізами, і вирішив взяти з собою три моделі. Єдине рішення — це повісити їх на шию. Але коли я пройшов через зал залізничної станції і побачив, як люди дивилися на мене, я зрозумів, що вони уявляли, що мають справу з безумцем, який отримав дозвіл вийти з лікарні. Було б марно намагатися пояснити протилежне, і я мав знести це страждання з усією можливою гідністю.

Цікаво, що люди, які створюють такі речі, дуже рідкісні. У США був математик на ім'я Чарлз Пю, який працював у відділі математики університету Берклі. Я матиму змогу згадати про нього пізніше. Пю був справжнім генієм у роботі з сітками для курей, але особисто я завжди більше любив техніку мідного дроту.

Повернемося до проблеми перевертання сфери. Першим, хто впорався з цією проблемою, був геометр Антоні Філліпс. Він опублікував свою роботу — послідовність малюнків — у журналі "Scientific American" у 1967 році. Існує кілька способів перевернути сферу. Один з них полягає в тому, щоб кожну точку сфери привести до збігу з її антиподом. Тоді вона набуде форми поверхні Боя. Я завжди мріяв про спонсора, який допоможе створити прекрасну скульптуру, що представляє Землю, зігнуту в поверхню Боя. Оскільки я не міг побудувати об'єкт, я зробив ілюстрацію обкладинки для "Топологікон":

**Земля, зігнута на собі за допомогою