Перевертання сфери
Перевертання сфери
7 грудня 2004 року
сторінка 3
Елементарні катастрофи.
Ми вже згадували вище, що ін’єкції, які ми розглядали, були такими, що дотичні площини вздовж їхніх множин самоперетину, коли такі є, залишалися різними. Тоді можна перейти від однієї ін’єкції до іншої за допомогою чотирьох елементарних катастроф. Морін дав їм назви, які зазначені на наступних малюнках. Перша призводить до створення замкненої кривої (і її знищення — обернена операція). Це відбувається, коли ми опускаємо ліктя у воду в раковині, щоб визначити її температуру (зліва). Малюнок a4: поверхні торкаються в одній точці. На a5 створено криву самоперетину. У подальшому тексті ми будемо називати цю операцію «катастрофою ліктя».
«Катастрофа ліктя»: створення — знищення замкненої кривої
Друга катастрофа — це «катастрофа мандарини»:
Катастрофа, що полягає у створенні — знищенні «шматка мандарини».
Якщо уважно подивитися на ці малюнки зліва направо, можна побачити, як параболічний циліндр наближається до двогранника. Множина самоперетину складається з двох розрізних параболічних кривих, а також, звичайно, ребра двогранника. На центральному малюнку ребро двогранника торкається однієї з твірних циліндра. Це ребро дотикається до циліндра в цій точці. Множина самоперетину складається з двох параболічних кривих, що дотикаються в одній точці, а також ребра двогранника. На правому малюнку параболічний циліндр продовжив свій рух. Крива самоперетину змінилася. Вона складається з ребра двогранника та параболічних кривих, що перетинаються у двох точках, розташованих на ребрі двогранника. Можна розглядати це іншим чином — параболічний циліндр залишається нерухомим, а дві «площини розрізу» рухаються. Правий малюнок нагадує дві розруби топором або дві розрізання пилкою. Також зображено стружку. Морін порівнював її з «шматком мандарини» — дуже виразна образа.
Третя катастрофа — це «катастрофа штанів»:
Катастрофа «штанів»
Малюнки достатньо виразні. Ми опускаємо штани у воду зліва направо. Зліва птах проходить під стегнами, а риба залишається обмеженою в одній штанині. Зправа риба проходить, але шлях, яким проходив птах, зник. На середині — проміжний стан. Важливо те, що місцево змінюється крива перетину, що відповідає тому, що називають «хірургією» — зміною з’єднання дуг кривих. Спробуйте добре усвідомити цю трансформацію, яка виявиться найскладнішою для реалізації та спостереження в гомотопії перевертання сфери. Запам’ятайте, що ця катастрофа одночасно закриває один шлях і відкриває інший у перпендикулярному напрямку.
Четверта і остання катастрофа — це «інверсія тетраедра»:
Катастрофа, що інвертує тетраедр
Крива самоперетину складається з чотирьох «прямих», які є продовженнями чотирьох сторін тетраедра. На лівому малюнку виділено цей тетраедр, що виставляє свої сірі грані назовні. Зправа — навпаки: грані мають рожевий колір. На середині — проміжний стан: тетраедр зменшився до точки Q (подвійної, оскільки вона є перетином чотирьох поверхонь).
За допомогою цих чотирьох катастроф ми розглянемо перевертання сфери за допомогою послідовності неперервних трансверсальних ін’єкцій. Ця версія належить математику (нікому) Бернару Моріну. Наша зустріч варта того, щоб її розповісти. Один день технік з філологічного факультету попросив мене використати свої майстерність малювання на конференції, яку мав читати вчений, що говорив про геометрію. Я прийшов на зустріч без жодних підозрінь. Я завжди був досить здібним у відчутті об’єктів у просторі, і коли наш викладач вищої математики дав нам розв’язувати задачу з нарисної геометрії, я малював перетин і одночасно надавав перспективне зображення, тоді як він формулював умову. Але цього разу все відбувалося інакше.
Я не мав жодних труднощів із малюванням вищезазначених малюнків. Але коли довелося інтегрувати їх у схему, що передбачає перевертання сфери, я вкінці втратив орієнтацію, зіткнувшись із цілою множиною поверхонь, розташованих одна за іншою. Надійшовши на біль, я повернувся до цієї дивної людини, яка, незважаючи на відсутність зору, відчувала себе в цьому розгортанні форм краще, ніж я. Я тоді відвідував його заняття кілька місяців. Діалог був досить складним. З його боку була лише мова. З моєї — або опис малюнків, або передача йому макетів, зроблених вдома або на місці. Було б дуже добре записати ці діалоги, які були абсолютно сюрреалістичними, наприклад:
*- Спробуй уявити дві криві, які зустрічаються, утворюючи щось схоже на відбивач для яєць. *
Незважаючи на складну особистість цієї людини, ці зустрічі залишилися для мене незабутніми. Я нарешті звикав приймати дві аспірини перед нашими робочими зустрічами, як профілактику. Характер Моріна можна уявити за прізвиськом, яким його називала дружина: «Благословенна блискавка», персонаж з коміксів Ерґе «Тінтін у Тибеті». Зневага Моріна була такою ж легендарною, як і незворотною. Йому траплялося згадувати деяких своїх ворогів, які вже померли, і сказати про них:
- Іноді я кидаю їм маленьку прокляту в іншому світі, думаючи, що якщо це їм не завдає болю, то принаймні не може завдати їм користі.
Попередня сторінка Наступна сторінка
Повернення до довідника Повернення на головну сторінку
Кількість переглядів цієї сторінки з 8 грудня 2004 року: