Перевертання сфери
Перевертання сфери
7 грудня 2004 року
сторінка 3
Елементарні катастрофи.
Ми вже згадували вище, що ін’єкції, які ми розглядали, були такими, що дотичні площини вздовж їхніх множин самоперетину, якщо такі є, залишалися різними. Тоді можна перейти від однієї ін’єкції до іншої за допомогою чотирьох елементарних катастроф. Морін дав їм назви, які зазначені на наступних малюнках. Перша призводить до створення замкненої кривої (і її знищення — зворотна операція). Це відбувається, коли ми опускаємо лікоть у воду в раковині, щоб перевірити її температуру (ліворуч). Малюнок a4: поверхні торкаються в одній точці. На малюнку a5 створено криву самоперетину. У подальшому тексті ми будемо називати цю операцію «катастрофою ліктя».
«Катастрофа ліктя»: створення — знищення замкненої кривої
Друга катастрофа — це «катастрофа мандаринового шматка»:
Катастрофа, що полягає у створенні — знищенні «шматка мандарину».
Якщо уважно подивитися на ці малюнки, зліва направо можна побачити, що параболічний циліндр наближається до двогранника. Множина самоперетину складається з двох розрізних параболічних кривих, а також, звичайно, ребра двогранника. На центральному малюнку ребро двогранника торкається однієї з твірних циліндра. Це ребро дотичне до циліндра в цій точці. Множина самоперетину складається з двох параболічних кривих, що дотикаються в одній точці, а також ребра двогранника. На правому малюнку параболічний циліндр продовжує свій рух. Крива самоперетину змінилася. Вона складається з ребра двогранника та параболічних кривих, що перетинаються у двох точках, розташованих на ребрі двогранника. Можна розглядати це іншим чином: параболічний циліндр залишається нерухомим, а дві «площини розрізу» рухаються. Правий малюнок нагадує два удару сокирою або дві розрізання пилкою. Відповідно зображено і відірвану частину. Морін порівнював це з «шматком мандарину» — дуже виразний образ.
Третя катастрофа — це «катастрофа штанів»:
Катастрофа «штанів»
Малюнки досить виразні. Ми опускаємо штани у воду зліва направо. Зліва птах проходить під стегнами, а риба залишається обмеженою в одній штанині. Зправа риба проходить, але шлях, яким проходив птах, зник. У центрі — проміжний стан. Важливо зміна локальної кривої перетину, що відповідає тому, що називають «хірургією» — зміною з’єднання дуг кривих. Спробуйте добре усвідомити цю трансформацію, яка виявиться найскладнішою для реалізації та спостереження в гомотопії перевертання сфери. Запам’ятайте, що ця катастрофа одночасно закриває один шлях і відкриває інший у перпендикулярному напрямку.
Четверта і остання катастрофа — це «інверсія тетраедра»:
Катастрофа, що інвертує тетраедр
Крива самоперетину складається з чотирьох «прямих», які є продовженнями чотирьох ребер тетраедра. На лівому малюнку виділено тетраедр, що повернув свої сірі грані назовні. На правому — навпаки: грані мають рожевий колір. У центрі — проміжний стан: тетраедр зменшився до точки Q (подвійної, оскільки вона є перетином чотирьох поверхонь).
За допомогою цих чотирьох катастроф ми розглянемо перевертання сфери за допомогою послідовності неперервних трансверсальних ін’єкцій. Ця версія належить математику (нікому) Бернару Моріну. Наша зустріч заслуговує розповіді. Один день технік з філологічного факультету попросив мене використати свої мистецькі здібності для конференції, на якій мав говорити про геометрію. Я прийшов на зустріч без жодних підозрінь. Я завжди був досить здібним у відчутті об’єктів у просторі, і коли наш викладач вищої математики дав нам задачу з нарисної геометрії, я малював перетин і одночасно надавав перспективне зображення, тоді як він формулював умову. Але цього разу все відбувалося інакше.
Я не мав ніяких труднощів з малюванням вище зображених малюнків. Але коли треба було включити їх у схему, що передбачає перевертання сфери, я остаточно злякався, зіткнувшись із цілою множиною поверхонь, розташованих одна за одною. Засмучений, я повернувся до цього дивного персонажа, який, незважаючи на відсутність зору, виявився більш впевненим у цьому розгортанні форм, ніж я. Я відвідував його заняття кілька місяців. Діалог був досить складним. З його боку він мав лише слово. З моєї — я міг або описати йому малюнки, або передати йому макети, зроблені вдома, або пізніше — на місці. Було б дуже добре записати ці діалоги, які були абсолютно сюрреалістичними, наприклад:
- Спробуй уявити дві криві, що зустрічаються, утворюючи щось на зразок вівчарського кнута для биття яєць.
Незважаючи на складну особистість цього персонажа ці зустрічі залишилися для мене незабутніми. Я навіть звикав приймати дві аспірини перед нашими робочими зустрічами, як профілактику. Характер Моріна можна описати за допомогою прізвиська, яким його дружина його називала: «Благословенна блискавка» — персонаж з коміксу Ерґе «Тінкін у Тибеті». Розлючення Моріна були так само легендарними, як і незворотними. Йому траплялося згадувати деяких своїх ворогів, які вже померли, і вигукати про них:
- Іноді я викидаю їм маленьку прокляття в іншому світі, думаючи, що якщо це не завдає їм болю, то принаймні не може завдати їм користі.
Попередня сторінка Наступна сторінка
Повернення до довідника Повернення на головну сторінку
Кількість переглядів цієї сторінки з 8 грудня 2004 року: