Перевертання сфери: математичні катастрофи
Перевертання сфери
8 грудня 2004 року
Сторінка 4
Версія Бернара Моріна
Для завантаження PDF-версії статті 1979 року Б. Моріна та Ж.П. Петі, опублікованої у «Pour la Science»
Перевертання сфери (2,8 Мб)
Ми починаємо зі сфери, яка виставляє зовні сірий бік, а рожевий — всередині. На малюнках b і c ми зближуємо полюси. Потім поверхні перетинаються, утворюючи «катастрофу ліктя». Утворюється замкнена крива самоперетину. Унизу праворуч — три півсічення, що допомагають краще уявити отриману конфігурацію. На цьому етапі сфера нагадує якесь «повітряне човенчик» з круглою формою, з «бубликом» і подвійною стінкою.
Перший етап: «катастрофа ліктя». Утворення замкненої кривої самоперетину
Друга операція: нова «катастрофа ліктя», утворення другої замкненої кривої.
Друге утворення замкненої кривої самоперетину
Для цього «повітряний човенчик» зігнувся, з обертальним рухом, що дозволило зібрати дві ділянки «бублика», розташовані діаметрально протилежно, в одному місці. Наступний малюнок — результат двох катастроф, що призвели до утворення «шматочків мандарини».
Після утворення двох «шматочків мандарини»
Зліва — вирізання в моделі. У центрі — як дві циліндричні структури, переріз яких нагадує грецьку літеру «гамма», перетинаються. Нагадаємо, що катастрофа утворення «шматочків мандарини» відбувалася при розрізанні «колоди» двома площинами, що утворюють двогранний кут. Кожна циліндрична структура з перерізом у формі «гамма» містить одночасно округлий переріз і двогранний кут. Уважно розгляньте малюнок i. У j накреслено весь комплекс самоперетину. Найбільша замкнена крива походить від першої «катастрофи ліктя», яка перетворила сферу на «повітряний човенчик». Після утворення двох «шматочків мандарини» утворюється більш складна структура, з якої j є підмножиною. У j" видно, що ця структура може бути порівняна з з’єднанням двох «шматочків мандарини» на двох несуміжних ребрах тетраедра.
Усе це стане набагато простішим для сприйняття, коли я зможу створити анімації. З технічної точки зору це не представляє жодних труднощів. Це лише питання часу. Незважаючи на те, що рідкісно хто може не тільки уявляти простір, тобто розшифровувати кодування, що використовує лінії, пунктири, кольори, тіні та відблиски, але й уявляти в голові перетворення, уявляючи запропонований рух. Я сподіваюся, що колись у мене буде час зробити все це. Заодно зазначимо, що можна використовувати поліедричні моделі, як я це зробив, щоб показати, як перетворити Crosscap на поверхню Боя. Це майбутнє. Але такі моделі треба винаходити. Нижче ви знайдете оптимізовану поліедричну версію центральної моделі цього перетворення, уявлену Бернаром Моріном (нагадаємо, що він — сліпий!), а також інструкцію, як зробити її самостійно з розрізання.
Чому я не розробив ці ідеї далі? Я б сказав: через відсутність «вихідних точок». Немає математичних журналів, які приймають такі роботи. Ми змогли опублікувати їх у 1975–1978 роках у кількох примітках до «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris», які, ймовірно, були прочитані лише дуже маленькою групою людей. Але це було через особисту зацікавленість академіка Андре Лішніровіча у цих роботах. Зараз він помер. Оскільки ці роботи були повністю завершені ще у 1975 році, було б бажано створити анімаційний фільм на основі моїх малюнків. Оскільки я працював у анімації, я був здатний координувати таку справу. Але було неможливо знайти фінансування в CNRS, і нарешті американський математик Нельсон Макс, скориставшись макетами, зробленими його колегою Чарлзом Пугом (із цієї ж версії перевертання сфери), і використовуючи потужний комп’ютер, створив перший фільм. Але це не перший і не останній раз, коли французи, які не отримують відгуку на свої зусилля, втрачають перевагу перед іноземними колегами, які краще організовані та краще підтримуються.
Перейдемо до третього етапу, найск