Перевертання сфери: математична катастрофа
Перевертання сфери
8 грудня 2004 року
Сторінка 4
Версія Бернара Моріна
Для завантаження PDF-версії статті 1979 року Б. Моріна та Ж.П. Петі, опублікованої у «Pour la Science»
Перевертання сфери (2,8 Мб)
Ми починаємо з сфери, яка виставляє зовні сіру поверхню, а внутрішню — рожеву. На малюнках b і c ми зближуємо полюси. Потім шари перетинаються, утворюючи «катастрофу ліктя». Виникає замкнена крива самоперетину. Унизу праворуч три півсічені частини допомагають краще уявити отриману конфігурацію. На цьому етапі сфера нагадує якесь «пневматичне човенчик», з «бульбочкою» і подвійною стінкою.
Перший етап: «катастрофа ліктя». Утворення замкненої кривої самоперетину
Друга операція: нова «катастрофа ліктя», утворення другої замкненої кривої.
Друге утворення замкненої кривої самоперетину
Для цього «пневматичний човенчик» зігнувся з обертальним рухом, що дозволило зблизити дві ділянки «бульбочки», розташовані діаметрально протилежно. Наступний малюнок — результат двох катастроф, що призвели до утворення «шматочків мандарини».
Після утворення двох «шматочків мандарини»
Зліва зроблено розрізи у моделі. У центрі показано, як дві циліндричні структури, переріз яких нагадує грецьку літеру «гамма», перетинаються. Нагадаємо, що катастрофа утворення «шматочків мандарини» відбувалася при розрізанні «колоди» двома площинами, що утворюють двогранний кут. Кожна циліндрична структура з перерізом у формі «гамма» містить одночасно і закруглену частину, і двогранний кут. Уважно розгляньте малюнок i. На малюнку j зображено весь комплекс самоперетину. Найбільша замкнена крива походить від першої «катастрофи ліктя», яка перетворила сферу на «пневматичний човенчик». Після утворення двох шматочків мандарини отримуємо більш складну структуру, з якої j є підмножиною. На малюнку j видно, що ця структура може бути порівняна з з’єднанням двох «шматочків мандарини» на двох несуміжних ребрах тетраедра.
Всі ці речі стануть більш зрозумілими, коли я зможу створити анімації. З технічної точки зору це не викликає проблем. Це лише питання часу. Небагато людей можуть не тільки уявити простір, тобто розшифрувати кодування, що використовує лінії, пунктири, кольори, тіні та відблиски, а й у своїй уяві послідовно перетворювати об’єкти, уявляючи запропонований рух. Я сподіваюся, що колись у мене буде час зробити все це. Заодно варто зазначити, що можна використовувати поліедричні моделі, як я робив, щоб показати, як перетворити Кроскап на поверхню Боя. Ось майбутнє. Але ці моделі треба винаходити. Нижче ви знайдете оптимізовану поліедричну версію центральної моделі цього перетворення, уявлену Бернаром Моріном (нагадаємо, що він — нічтожний!), разом із інструкцією, як зробити її самому з розрізання.
Чому я не розробив ці речі далі? Я б сказав: через відсутність «вихідних точок». Немає математичних журналів, які приймають публікацію таких робіт. Ми змогли це зробити у 1975–1978 роках через кілька приміток у «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris», які, ймовірно, ніхто не читав. Але це було тому, що академік Андре Ліхнерович особисто цікавився цими роботами. Тепер він помер. Оскільки ці роботи були повністю завершені ще в 1975 році, було б бажано створити анімаційний фільм на основі моїх малюнків. Оскільки я працював у анімації, я мав здатність координувати таку справу. Але було неможливо знайти фінансування в CNRS, і, нарешті, американський математик Нельсон Макс, скориставшись макетами, зробленими його колегою Чарлзом Пугом (цією ж версією перевертання сфери), і використовуючи потужний комп’ютер, створив перший фільм. Але це не перший і не останній раз, коли французи, не отримуючи відгуку на свої зусилля, втрачають перевагу перед іноземними колегами, які краще організовані та краще підтримуються.
Перейдемо до третьої фази, найскладнішої для сприйняття.
Підготовка до двох «катастроф штанів»
На малюнку k чітко видно дві частини «штанів», деталі яких показані у передньому плані k'. Біла стрілка вказує на прохід «між ногами». Це перетворення дуже важко уявити. Я додав малюнок m, щоб бути зрозумілішим. На малюнку l я зобразив пунктиром криву самоперетину, яка цілком видно на малюнку l'. Прохід (той, що вказує біла стрілка) закриється. Цей рух закриття супроводжується підйомом частини кривої перетину у двох місцях. Ці ділянки кривої зближаться, кожна — на одній з ліній, що належать до «шматочків мандарини». Коли з’явиться контакт, відбудеться хірургічна операція. Складність полягає в тому, що після спостереження чотирьох елементарних катастроф на попередній сторінці, треба вміти переносити їх у всіх напрямках, навіть розкрутивши шийні хребці. На малюнку n зображено критичний момент, коли відбувається хірургія («середній стан» перетворення), і змінюється спосіб з’єднання кінців кривої. Відомо, що ця «катастрофа штанів» закриває один прохід і відкриває інший. Початковий прохід зображено білою стрілкою. Але існує ще один, який бачився б під тим самим кутом, якби ми обернули модель на 180° навколо вертикальної осі. Ці стрілки утворюють одну. Перед тим, як відбудуться ці катастрофи, ще можна рухатися по цьому «зігнутому пневматичному човенчику». Коли ж катастрофи відбудуться, цей прохід більше неможливий. Зате утворяться два інші проходи. Але де? Які частини простору це торкаються? Ці проходи з’єднують внутрішні частини «шматочків мандарини» ззовні. На малюнку l' ви бачите ці «шматочки мандарини». Перейдемо до наступного етапу.
Закриття проходу. До подвійного критичного стану
На малюнку o зображено дві «катастрофи штанів» на двох різних етапах. Один прохід повністю закритий. Ми в критичному стані, щойно перед тим, як дуги кривої змінять спосіб з’єднання. Зправа (деталь на малюнку o') прохід ще лише закривається. Тому вигляд кривої самоперетину o" різний зліва і справа. На малюнках p, p' і p" критичний стан («середній стан» перетворення) досягнуто з обох боків. На наступній сторінці хірургічні операції вже відбулися. Труби, які починалися на малюнку p", з’єднуючи «шматочки мандарини» ззовні, тепер вже сформовані:
Дві «катастрофи штанів» відбулися. Проходи (білі стрілки) відкриті.
Тепер робота продовжується на нижній частині моделі, деталі якої показано на малюнку r. Уважно розгляньте цю частину поверхні. Ми бачимо дві частини параболічних циліндрів, що перетинаються, розташовані вздовж двох взаємно перпендикулярних напрямків. У нижній частині r є прохід, що виставлений до читача. Ми розглянемо, як можна зсунути ці два циліндри один відносно одного. Це призведе до закриття цього проходу і відкриття іншого, що йде перпендикулярно («зправа наліво»). Ми впізнаємо тут нову «катастрофу штанів». Якщо це зсування вертикальних частин параболічних циліндрів відбудеться, ми знову опинимося в критичному стані зі зміною способу з’єднання шарів. Але, щоб заощадити, ми зупинимо цей процес у критичному стані, у «середньому стані», коли прохід, що виставлений до читача, закриється, а прохід у перпендикулярному напрямку ще не відкриється. Зробимо це.
Нова «катастрофа штанів», започаткована у формі L, зупинена справа, у критичному стані.
У формі L ми здійснюємо «тиск» на циліндр, що виставляє рожеву поверхню назовні, і піднімаємо його. На малюнку c' видно, як цей рух впливає на весь комплекс самоперетину: дуги кривої починають наближатися. Коли досягнеться критичний стан, ця частина комплексу нагадуватиме «батерію для биття яєць», зображена на малюнку. На малюнках праворуч, t, t', t": досягнуто критичного стану, тобто «середнього моменту катастрофи». На малюнку t" вигляд комплексу самоперетину має нижню частину, що відповідає нашій батерії для биття яєць. Малюнок t' зображує невеликий тетраедричний об’єм. На малюнку t''' зображено перетин чотирьох шарів.
Підійдіть, випийте аспірин.
У цій версії перевертання сфери всі перетворення та катастрофи повинні бути доведені до кінця. Але ми зупинимо ту, що щойно описували, у її середньому стані, «критичному». Потім ми почнемо нову катастрофу, яку ще не використовували: таку, що інвертує тетраедр. Але й тут ми зупинимося у «середньому стані», коли тетраедр зменшиться до точки. Поглибимося.
Остання катастрофа, зупинена у середньому стані: коли тетраедр зменшений до чотирикратної точки Q
На малюнку t''' зображено конфігурацію чотирьох шарів, комплекс самоперетину яких містить об’єм, що нагадує тетраедр. На малюнку u" цей тетраедр зменшений до точки (чотирикратної, оскільки перетинаються чотири шари). Зліва — «модель Моріна з чотирма вухами». У передньому плані — комплекс самоперетину, знизу — «батерія для биття яєць», зверху — чотири «вуха», що нагадують «вуха кролика». Злегка деформуючи поверхню, не виконуючи нових катастроф, ми отримуємо праворуч центральну модель Моріна з чотирма вухами. Ця модель має симетрію четвертого порядку. Якщо зробити обертання на 90° навколо вертикальної осі симетрії, отримаємо той самий малюнок, але зі зміненими кольорами. Сірий стає рожевим і навпаки. Тепер можна сказати, що робота завершена. Справді, якби ми хотіли намалювати повну гомотопію, досить було б за допомогою анімації обернути цю центральну модель на 90°. Потім ми могли б повторити всі малюнки, які ми зробили, у зворотному порядку, зі зміненими кольорами. Нарешті ми отримали б вкладення сфери, що виставляє рожеву поверхню назовні. Але математика — це школа лінивості або економії, залежно від того, як на це дивитися. Оскільки робота привела нас до об’єкта з симетрією четвертого порядку, ми можемо залишитися на цьому, сказавши, що операція виконана.
На наступній сторінці