Перевертання тора Кляйна
Перевертання тора
5 грудня 2004 року
Сторінка 6
Нетривіальне перевертання тора
Ж.П. Петі:
«Компте-Ренду Академії наук. Том 293, засідання 5 жовтня 1981 року, серія 1, стор. 269–272»
Я обмежуся лише представленням наступних малюнків, не коментуючи їх.
Нетривіальне перевертання тора. Перша частина перетворення
Нетривіальне перевертання тора. Друга частина перетворення
Коли ми досягаємо малюнка v, ми бачимо, що тепер дуже легко збільшити сіру структуру з рожевою, щоб перетворити цей об'єкт на двошарове покриття бутельки Кляйна.
Перевертання відбувається тоді шляхом обміну шарами, що знаходяться один навпроти одного. Нижче — той самий малюнок із хроматичним кодуванням.
Двошарове покриття бутельки Кляйна з хроматичним кодуванням
( цей малюнок не входить до моєї щорічної звітності до CNRS. Він може бути знайдений у «Topologicon» )
Різні сімейства торів
Те, що Стівен Смейл довів у 1957 році, полягало у тому, що існує лише одне сімейство вкладень сфери, і всі вони можуть бути з'єднані між собою за допомогою гомотопії. Ці вкладення утворювали групу, нейтральним елементом якої було залишити об'єкт без змін. Виникло питання, чи буде те ж саме для тора. Математики Йоан Джеймс і Емері Томас довели, що вкладення тора розподіляються на чотири континенти, між якими неможливо перейти за допомогою регулярної гомотопії.
Чотири сімейства торів
«Стандартний тор», зображений у центрі сторінки, належить до того самого сімейства, що й об'єкт, зображений на b. Це я довів у версії перевертання тора, яку я винайшов у 1980 році. Сімейство, згадане в a, представляє тор, який пройшов закручування на 360°. Він нагадує стандартний тор, але відрізняється від нього системою картографії, що базується на двох сімействах кривих. У стандартному торі використовуються два набори кіл, які відповідають меридіанам і паралелям. У тора a потрібно доповнити сімейство кіл, приклеєних до нього, другим сімейством, що закручується у протилежному напрямку. Можна довести, що за допомогою регулярної гомотопії неможливо збільшити сітку тора a з сіткою стандартного тора (меридіани плюс паралелі). Саме в цьому сенсі вони є різними об'єктами. Всі ці об'єкти, звичайно, можуть бути представлені як двошарове покриття бутельки Кляйна.
Сила геометричних інструментів полягає в тому, щоб передбачити, що можливо, а що неможливо. Перетворити стандартний тор на тор зображення b: так. Перейти від c до d: ні.
Це допомагає не витрачати час марно і особливо стимулює шукати речі, які не є очевидними, наприклад, перевернути сферу. Так само це стосується всіх наук. Іноді люди пропускають плідні шляхи протягом років, навіть століть, просто тому, що вважали їх неможливими. Я витратив кілька років своєї життя на створення теорії зниження ударних хвиль навколо об'єкта, що рухається з надзвуковою швидкістю в газі, за допомогою поля сил Лапласа, «МГД». Один студент навіть зробив дисертацію на цю тему під моїм керівництвом, і ми опублікували ці роботи в різних наукових журналах і на конференціях. Ця тема лише починає виходити на поверхню, через тридцять років. Підозрюють, що американці мають гіперзвукові літаки, які можуть рухатися зі швидкістю Маха 10 без утворення ударних хвиль (і особливо без високих теплових навантажень, пов'язаних із рекомпресією повітря за «хлопками»). Це відомий міф про «Аурору» — літак, що рухається на висоті, де виникають північні сяйва, між 80 і 150 км. Аурора також є передвісткою майбутніх космічних ракет, які, спираючись на повітря, будуть набагато економічнішими за ракети CNES. У Франції було неможливо ініціювати такі дослідження (я мав ці ідеї ще у 1975 роц), бо люди, зокрема в CNRS, вважали їх повністю нелогічними. Результат — тридцять років відставання від США, на мою думку, повністю непереборне.
Жарт про табакерку
Щоб бути повним, слід згадати версії перевертання сфери, в яких центральним об'єктом є табакерка. Це було поширене явище, коли я був молодим, але тепер, мабуть, вже рідкісно зустрічається. Першим, хто намалював ці послідовності, був Джордж Франсіс. Останні кілька років я працюю над поліедричною версією цих версій, і вже отримав досить гарний центральний модель. Але, щоб показати її вам, мені потрібно спочатку знову знайти її. Надіюсь, це станеться швидко, бо це один із найбільш захоплюючих об'єктів, які я коли-небудь створював.
Попередня сторінка Наступна сторінка
Повернення до довідника Повернення на головну сторінку
Кількість переглядів цієї сторінки з 8 грудня 2004 року: