Перевертання тора Кляйна

Перевертання тора

5 грудня 2004 року

Сторінка 6

Нетривіальне перевертання тора
Ж.П. Петі:
Comptes Rendus Académie des Sciences. Том 293, сесія 5 жовтня 1981 року, серія 1, стор. 269–272

Я обмежуся лише представленням наступних малюнків, не коментуючи їх.

Нетривіальне перевертання тора. Перша частина перетворення

Нетривіальне перевертання тора. Друга частина перетворення

Коли ми досягаємо малюнка v, ми бачимо, що тепер легко збігти сіру структуру з рожевою, щоб перетворити цей об'єкт на подвійне накриття бутельки Кляйна.

Перевертання відбувається тепер шляхом обміну відповідних поверхонь. Нижче — той самий малюнок із хроматичним кодуванням.

Подвійне накриття бутельки Кляйна з хроматичним кодуванням

(Цей малюнок не входить до моєї щорічної звітності до CNRS. Він є в книзі «Topologicon»)

Різні роди торів.

Те, що довів Стівен Смейл у 1957 році, полягало у тому, що існує лише одна родина вкладень сфери, і всі вони можуть бути пов'язані між собою за допомогою гомотопії. Ці вкладення утворюють групу, нейтральним елементом якої є залишання об'єкта без змін. Виникло питання: чи буде те саме для тора? Математики Йоан Джеймс і Емері Томас показали, що вкладення тора розподіляються на чотири континенти, між якими неможливо перейти за допомогою регулярної гомотопії.

Чотири роди торів

«Стандартний тор», зображений посередині сторінки, належить до тієї ж родини, що й об'єкт, зображений на b. Це я довів у версії перевертання тора, яку я винайшов у 1980 році. Родина, згадана в пункті a, представляє тор, що зазнав витягування на 360°. Він нагадує стандартний тор, але відрізняється від нього системою картографії, що базується на двох сім'ях кривих. У стандартного тора використовуються два набори кіл, що відповідають меридіанам і паралелям. На торі a потрібно доповнити сім'ю кіл, приклеєних до нього, другою сім'єю, що витягується у протилежному напрямку. Тоді можна довести, що за допомогою регулярної гомотопії неможливо збігти решітку тора a з решіткою стандартного тора (меридіани плюс паралелі). Саме в цьому сенсі ці об'єкти різні. Усі ці об'єкти, звичайно, можуть бути представлені у вигляді подвійного накриття бутельки Кляйна.

Сила інструментів геометра полягає в тому, щоб передбачити, що можливо, а що неможливо. Перетворити стандартний тор на тор з малюнка b: так. Перейти від c до d: ні.

Це допомагає не витрачати марно час і особливо стимулює шукати речі, які не є очевидними, наприклад, перевернути сферу. Так само це стосується всіх наук. Іноді люди протягом років або навіть століть пропускають плідні шляхи просто тому, що вважають їх неможливими. Я витратив кілька років своєї життя на створення теорії зниження ударних хвиль навколо об'єкта, що рухається з надзвуковою швидкістю в газі, за допомогою поля сил Лапласа, «МГД». Один студент навіть написав дисертацію на цю тему під моїм керівництвом, і ми опублікували ці роботи у різних наукових журналах і на конференціях. Ця тема лише починає набирати популярність, через тридцять років. Вже підозрюють, що американці мають гіперзвукові літаки, що можуть рухатися зі швидкістю Маха 10, не створюючи ударних хвиль (і особливо не зазнаючи відчутних теплових навантажень, пов'язаних із перекомпресією повітря за «хлопками»). Це відомий міф про «Аурору» — літак, що рухається на висоті, де виникають північні сяйва, між 80 і 150 км. Аурора — це також передвістка майбутніх космічних ракет, які, спираючись на повітря, будуть набагато економічнішими за ракети CNES. У Франції було неможливо ініціювати такі дослідження (я мав ці ідеї ще у 1975 роц), бо люди, зокрема в CNRS, вважали їх повністю безглуздими. Результат — тридцять років відставання від США, на мою думку, повністю непереборне.


Жарт про табак

Щоб бути повним, слід згадати версії перевертання сфери, в яких головним об'єктом є жарт про табак. Це був предмет, що був поширеним, коли я був молодим, але сьогодні, мабуть, рідкісний. Першим, хто намалював ці послідовності, був Джордж Франсіс. Останні кілька років я працюю над поліедричною версією цих версій, яка вже дала досить гарний центральний модель. Але, щоб показати її вам, мені потрібно знову знайти її. Швидко, сподіваюся, бо це один із найбільш захоплюючих об'єктів, які я коли-небудь створював.

Попередня сторінка Наступна сторінка

Повернення до довідника Повернення на головну сторінку

Кількість переглядів цієї сторінки з 8 грудня 2004 року: