7
Елемент
g
p групи Пуанкаре Gp визначається послідовністю параметрів {
p
i}, кількість яких, як ми вже зазначали, відповідає
вимірності групи
. Матриця
d g
(g = e)
складається з величин {
dp
i} . Отже, вищезгадана функція має вигляд:
(81)
Іншими словами, кожному набору скалярів
dp
i відповідає рівна кількість скалярів
dp
i
'. Дуальність полягає в припущенні інваріантності скаляра за формулою:
(82)
n — вимірність групи (десять для групи Пуанкаре). Скаляри Ji представляють компоненти моменту, що мають таку саму кількість.
Ми вирішимо розкласти цей момент
J на дві складові. Перша — це антисиметрична матриця
M розміром (4,4), що має шість компонент, а друга — «чотиривектор»
P, матриця розміром (4,1):
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Ми запишемо скалярний добуток у вигляді:
(85)
Tr означає "слід матриці", і ми матимемо далі:
(86)
лінійна форма, інваріантність якої забезпечує дуальність.
де:
(87)
(87b)
(87c)
але
GG
= 1
тому це дорівнює:
(88)
Порівняємо члени з
y (89)
Тобто:
(90)
----> Наступні кроки — деталі матричних обчислень. Якщо бажаєте,
клацнувши тут
ви зможете перейти безпосередньо до результату.
У сліді можна здійснити циклічну перестановку доданків.
(90a)
(90b)
(90c)
другий доданок правої частини дорівнює добутку рядка на стовпець.
Це дорівнює сліду оберненого добутку (наведено схематично: добуток рядка на стовпець):
(90d)
У цьому сліді я можу здійснити циклічну перестановку:
(90e)
Звідси:
(90f)
(90g)
Тут ми знову застосуємо теорему про сліди матриць, що є добутком іншої матриці на симетричну матрицю.
Будь-яка матриця може бути розкладена на симетричну та антисиметричну частини. Крім того, слід добутку матриці на симетричну матрицю дорівнює нулю.
(90h)
Я можу застосувати це до матриці (90i)
оскільки береться слід
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
але:
(90l)
тому
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
і:
(90q)
нарешті:
(90r)
Згрупувавши та помінявши місцями штрихи, отримуємо дію групи:
Зображення
Повернення до підрозділу "групи і фізика"