8
(91)
Цю спряженну дію можна записати у матричній формі.
Матриця групи Пуанкаре має вигляд:
(92)
її транспонована матриця:
(93)
Розглянемо матрицю:
(94)
Тобто ми перейдемо до матричної форми моменту:
(95)
Jp = {
M,
P }
і утворимо добуток:
(96)
(97)
(98)
який можна ідентифікувати з матрицею:
(99)
Отже, Jp — це момент групи Пуанкаре, записаний у матричній формі. Тоді спряжена дія має вигляд:
(100)
Як вправу, читач може перевірити, спираючись на аксіоми, що це справді дія.
Момент групи Пуанкаре можна записати явно наступним чином:
(101)
Ця матриця є антисиметричною (що означає, що її головна діагональ складається з нулів).
М — це матриця:
(102)
Розкриємо її:
(103)
Це справді антисиметрична матриця, яку ми припускали з самого початку і яка залежить від шести параметрів:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Останні три ( fx , fy , fz ) — це компоненти вектора, вектора-переносу f :
(105)
Перші три ( lx , ly , lz ) — це незалежні компоненти антисиметричної матриці (3,3), вектора обертання l :
(106)
Таким чином:
(107)
Вектор P — це чотири-вектор імпульс-енергія:
(108)
Тепер можна явно записати момент групи Пуанкаре в загальному вигляді:
(109)
Перевіряємо, що це справді об'єкт з десятьма компонентами (кількість, що відповідає розмірності групи).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l }
Повернення до підрозділу "Групи і фізика"