9
Частинки зі спіном.
Група Пуанкаре описує релятивістський рух точкового об'єкта. Аналогічно, група Баргмана, яка буде наведена нижче, описує нерелятивістський рух точкового об'єкта, який називають тоді «точковою масою».
Таким чином, цей метод — обчислення супровідної дії групи на простір імпульсів — дозволив виявити приховані елементи, властивості об'єкта: компоненти імпульсу.
Неймовірно те, що цей підхід, запропонований Суріа, призводить до появи ключових об'єктів фізики як чисто геометричних об'єктів. Тим самим він виконав незрівнянну роботу з
геометризації фізики.
Крім енергії та імпульсу, інші компоненти — «обертання» та «перехід» — досить дивують фізика. Що це за речі?
Вираз компонент імпульсу, звичайно, залежить від обраної системи координат.
Найпростіше, можливо, повернутися до нерелятивістського випадку, тобто до виразу супровідної дії, який виник би з аналізу групи Баргмана.
(111)
Таємнича формула. Що вона дає? Як вона працює?
У цьому випадку фізик впізнає кілька знайомих об'єктів:
(112)
— це просто дві форми запису вектора швидкості {vx, vy, vz}: перша — у вигляді стовпця матриці, друга — у вигляді рядка матриці. Добуток двох матриць — це скаляр:
(113)
щось, що починає нагадувати кінетичну енергію.
mv — це імпульс.
Традиційний фізик, коли йдеться про динаміку матеріальної точки, знає лише три речі:
— масу m
— імпульс mv
— кінетичну енергію 1/2 mv²
Так, але швидкість — відносно чого?
Група — це також погляд на речі. Ми можемо або вважати, що за допомогою групи ми переносимо об'єкти (як це було з групою Евкліда), відносно нерухомого спостерігача, або, якщо об'єкт нерухомий, спостерігати його з іншого боку.
Якщо ми вибираємо перший підхід — перенесення об'єктів — у контексті динамічних груп (тобто груп фізики, на відміну від групи Евкліда, де час не виникає), ми повинні сказати, що ми надаємо об'єктам швидкість v і енергію E.
Якщо ж ми вибираємо протилежний підхід — вважаємо об'єкт нерухомим і розглядаємо, як ми, самі, рухаємося, — який сенс мають групи?
Група Евкліда означає тоді: «Бачити з іншого місця, під іншим кутом».
«Інше місце» — це вектор перенесення:
(114)
«Бачити під іншим кутом» — це матриця обертання a, обертання в просторі (яке можна було б детально описати за допомогою кутів Ейлера, що ми не робимо).
Щодо динамічних груп, цей погляд, ця точка зору на «речі» має бути ускладнена. Залишаючись в рамках групи Баргмана, введення швидкості v означає, що спостерігач, який спостерігає цю точкову масу з іншого місця (вектор-перенесення c), під іншим кутом (матриця обертання a), також рухається відносно цієї нерухомої точкової маси зі швидкістю v.
І, щоб бути повним, щоб ускладнити все, він не рухається в той самий час, що й частинка, що спостерігається. Він відстає від неї на час Δt. Іншими словами, він спостерігає з іншого місця, але це — просторово-часове інше місце, відповідне вектору просторово-часового перенесення:
(115)
Зробивши такий «відступ» від цієї точкової маси, що я виявляю? По-перше, що m' = m
Це не впливає на масу.
Я можу спростити собі життя, відкинувши обертання. Вже досить складно спостерігати точкову масу з іншого місця, з іншого часу, відсторонену, на скейтборді, що рухається зі швидкістю v. Чи обов'язково ще й відвертати голову?
Ні. Нехай a = 1.
Але цей деталь зазвичай ігнорується в обчисленнях. Супровідна дія, у цьому випадку, набуває вигляду:
(117)
Тут «розглядати» слід брати у своєму етимологічному значенні. Що я роблю, коли розглядаю ситуацію, небо, поле бою, відео, зняте літаком-шпіоном?
Суддя запише:
— Розглядаючи стан місця...
Статичний погляд, відповідний групі Евкліда. Суддя спостерігає об'єкти на відстані c, в один і той самий момент (Δt = 0), зазвичай нерухомо (v = 0). У разі потреби — під певним кутом, «під певним кутом».
Генерал, що рухається в літаку розвідника, — це як би рухомий суддя (v ≠ 0).
Але головнокомандуючий, що переглядає відео, зняте дроном, — перед ним ситуація, зміщена у часі. Йому доводиться говорити:
— Розглядаючи ціль, спостерігальну з цього місця, у вигляді кривої, з певною швидкістю, і, крім того, такою, якою вона була дві години тому...
Ціль не має власної особливої швидкості. Її не можна вважати нерухомою, навіть якщо це «нерухома установка». Навіть Земля рухається, Сонце теж, галактика тощо.
Повернення до підрозділу «групи і фізика»