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Tout ce que je peux dire c'est : - qu'en m'éloignant de la "cible" d'une distancec. - en l'observant en me déplaçant moi-même à une vitessev. - en étant, par rapport à cette cible, décalé d'un laps de temps Dt

Par rapport à moi : --- Je n'ai pas fait varier sa masse m. --- Je l'ai dotée d'une impulsion mv( quantité de mouvement). ---- Je l'ai dotée d'un passage m [c-vDt ] ---- et d'un tournoiement :

Explicitons celui-ci :

(118a)

(118b)

(118c)

ou :

(118d)

On peut considérer les trois composantes indépendantes de la matrice tournoiementlcomme celles d'un vecteur. Celui-ci s'écrit alors :

(119)

Bien qu'on n'ait pas défini le produit vectoriel dans notre espace, c'est à dire qu'on ne lui a pas conféré d'orientation droite-gauche, on peut considérer cela comme un produit vectoriel :

(120)

le v à l'envers désignant le produit vectoriel. On voit que la dernière ligne des formules donnant l'action coadjointe sur le moment correspond à : (121)

létant une matrice et non un vecteur ( mais, dans nos notations, les lettres grasses désignent indifféremment les uns et les autres, le maigres se référant aux scalaires).

Ce vecteur produit vectoriel commence à ressembler, pour le physicien, à quelque chose de connu : le moment cinétique .

On prend une particule, on s'en éloigne decet on l'observe en circulant à la vitessev. Tout se passe comme si c'était l'inverse: que la particule soit éloignée d'un observateur supposé fixe et se déplace à une vitessev.

(122)

Reste le "passage"f= m [c-vDt ]

Il s'annule en faisant simplementc=vD t , c'est à dire en reliant la vitessevet la translation spatio-temporelle :

(123)

Reprenons l'expression du moment issu du groupe de Poincaré, exprimé dans un système de coordonnées où le passage soit nul :

(124)

Une particule, c'est un choix particulier effectué dans le moment. Ceci étant, des changements de coordonnées permettent de faire disparaître le passagefet de ramener les composantes du tournoiementlet de l'impulsionPà une seule composante (mouvement en z) :

(125)

L'objet décrit par le groupe de Poincaré possède donc a priori :

• Une énergie E - Une impulsion P - Un tournoiement propre l

Le tournoiement c'est une masse, multipliée par une longueur, le tout multiplié par une vitesse. Ca a donc la dimension M L2 T-1 de la constante de Planck h.

La méthode de quantification géométrique , développée par Souriau (voir Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973) permet de montrer que ce tournoiement doit être proportionnel à : (125b)

par valeurs demi-entières. C'est à dire soit l'unité (photon), soit 1/2 pour les autres particules comme l'électron, le proton, le neutron, les neutrinos, et leurs antiparticules.

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