Соріо живе в квартирі в старому Ексе. Двері, що ведуть на вулицю, дуже красиві. У приймальні стоять дивний транспортний засіб — старовинний носій, який належить господарці місця, дівчині, археологу, як мені здається. Носій притулився до стіни. Залишається знайти двох носіїв, вставити дві довгі дерев'яні стійки в кільця і сісти, щоб зробити прогулянку. Вікна скляні: бічні скла можна опустити не за допомогою маховика, а за допомогою шкіряних стрічок, як це було в вагонах залізниці моєї дитини.
Як все це чудово мріяти. Я раптом усвідомлюю, що ніколи не їздив на носіях. Я переконаний, що в часи безробіття люди могли б заробляти на життя, створивши першу регулярну лінію носіїв у старому Ексі. Досить зробити транспортний засіб, що нагадує старовинні носії. Це, мабуть, не так складно. Потім — купити два вишиті костюми, дві пари париків і вперед. Маршрут: проспект Мірабо. Цього було б достатньо. Потім — лише мріяти, трохи уявити.
Жан-Марі живе сам із своїм котом Піумом у великій квартирі, повній золотих виробів, дерев'яних панелей. Піум дуже приємний. Навіть якщо я не особливо люблю котів, цей дуже гостинний і лагідний.
Ми зазвичай працюємо на кухні, на одному поверсі вище. Це невелика кімната під дахом, її тіснота контрастує з величезними кімнатами нижнього поверху. Кожного разу, коли Жан-Марі намагається випити моєму напою: Фернан-Бранка, на основі артишоків, який мені дуже не подобається, але він приписує йому всі цілющі властивості.
Коли він гуляє по місту, він завжди має з собою GPS, який ніколи його не покидає. Дійсно цікаво бути керованим супутниками, які знаходяться на відстані сорока тисяч кілометрів від вулиці, де ти рухаєшся. Щоб отримати краще прийняття сигналу, Соріо має тенденцію йти прямо по осі вулиці, уважно дивлячись на екран з рідкими кристалами. Це, здається, ефективно, але все ж досить небезпечно.
Мені здається, що ми добре проводимо час разом. В один грудневий вечір я відвідав його, і це дало таку розмову.
— Я тобі розповім про групи. Ти пам’ятаєш аксіоми?
— Так, їх шість. Це:
1 — Існують елементи a, b, c…, що належать до множини E
2 — Існує внутрішній закон дії, позначений o ("круг"), що дозволяє поєднувати два елементи множини.
a належить до множини E
b належить до множини E
a o b належить до множини E
3 — Ця операція є асоціативною:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 — Існує нейтральний елемент e, такий, що:
a o e = e o a = a
5 — Кожен елемент a множини має обернений елемент, позначений a⁻¹, такий, що:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
Це п'ять?
— Ну, п'ять, чи чотири, чи один. Немає абсолютної норми щодо нумерації аксіом. Ми можемо зібрати аксіоми 1 і 2 в одну:
— Існують елементи a, b, c, тощо, що належать до множини E, обладнаної внутрішнім законом дії, що задовольняє:
a належить до множини E
b належить до множини E
a o b належить до множини E
Це еквівалентно.
— Добре, п'ять, чотири, не має значення. Де ти хочеш прийти?
— Я видалю те, що ти називав аксіомами 4 і 5, що визначають нейтральний елемент і обернений елемент, замінивши їх аксіомою сендвіча. Загалом, аксіоми:
1 — Існують елементи a, b, c…, що належать до множини E
2 — Існує внутрішній закон дії, позначений o ("круг"), що дозволяє поєднувати два елементи множини.
a належить до множини E
b належить до множини E
a o b належить до множини E
3 — Ця операція є асоціативною:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 — Нехай три елементи a, b, c належать до множини E.
Нехай рівняння:
a o y o b = c
має єдиний розв'язок.
Це те, що я називаю аксіомою сендвіча, де "шматочок м’яса" y знаходиться між елементами a і b, а c — це цілий сендвіч. Аксіома означає:
Ми завжди можемо вийняти м’ясо з сендвіча.
І я стверджую, що ці аксіоми визначають групи, вони еквівалентні попереднім.
— Цей єдиний розв'язок y є елементом множини E, оскільки операція є внутрішньою та асоціативною.
— Звичайно, це очевидно.
— Але це ще краще, коли це сказано. Я не знаю, як ти збираєшся відновити дві аксіоми, що стосуються нейтрального елемента та існування оберненого, але я зрозумів, що спонукало тебе до цієї ідеї.
— Я подумав: "А навіщо це?"
— Саме так. Навіщо потрібен нейтральний елемент? Зараз це означає: "Якщо у мене є множина E і нейтральний елемент, я можу поєднувати всі елементи цієї множини з ним і отримувати те саме". Це мені не допомагає. Точно так само, навіщо потрібен обернений елемент? Коли ми робимо обчислення в групах, на будь-якому об'єкті, ми завжди впораємося, використовуючи множення справа або зліва на елементи або їх обернені, щоб отримати a o a⁻¹ або a⁻¹ o a, які ми замінюємо на e, потім b o e або e o b, які замінюємо на b. Твоя аксіома сендвіча є "функціональною".
— Якщо ти хочеш. Перейдемо до теорем, що випливають з аксіоми сендвіча. Перша:
I — Існує нейтральний елемент, який при поєднанні з самим собою дає себе:
e = e o e
II — Цей нейтральний елемент є єдиним.
Доведення:
Почнемо з аксіоми сендвіча. Рівняння a o y o b = c має єдиний розв'язок y.
Це також справедливо, якщо b = c = a, отже a o y o a = a має єдиний розв'язок. Помножимо праворуч на y:
a o y o a o y = a o y
Позначимо a o y = e
Це елемент множини, оскільки a і y належать до множини, а операція є внутрішньою. Отже, існує елемент множини, такий, що:
e o e = e
Теорема I доведена. Перейдемо до єдиності, теореми II. Якби не було єдиності, існував би інший елемент множини, позначимо його f, що задовольняє:
f o f = f
Маємо:
e o e = e
Помножимо праворуч на f:
e o e o f = e o f
Помножимо праворуч на e:
e o e o f o e = e o f o e
Використаємо асоціативність:
e o (e o f) o e = e o f o e
Це два сендвічі. Позначимо їх:
p = e o (e o f)
q = e o f o e
За аксіомою сендвіча ми можемо "вийняти м’ясо", тобто обчислити вирази (e o f) і f, які будуть рівними, оскільки p = q. Отже:
(e o f) = f
Повторимо, починаючи з твердження, що належить цьому другому елементу f:
f o f = f
Помножимо праворуч на e, двічі ліворуч:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
Використаємо асоціативність:
e o