Аналітичне представлення поверхні Боя
Ж.П. Петі та Ж. Суріо
.
Нижче — копія нотатки до «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris», підписаної Ж.П. Петі та Ж. Суріо, датована 1981 роком.
Ця робота має історію. Доти, доки у 1985 році мій альбом «Topologicon» не був виданий видавництвом Belin у серії «Aventures d'Anselme Lanturlu», представлення поверхні Боя у спеціалізованих працях були дуже рідкісними. Тут і там можна було знайти фотографії моделей, виготовлених з гіпсу або з пташиного сітка. Чарлз Пуг з математичного факультету університету Берклі є незаперечним світовим експертом у галузі пташиного сітка. Саме з цього матеріалу він отримав важливу фінансову премію, виготовляючи макети, що описували перевернення сфери за Бернардом Моріном, які потім були цифровані Нельсоном Маком, щоб перетворитися на фільм, що тепер є у всіх математичних кафедрах світу.
Але я вважаю, що пташине сітко — матеріал дуже незначний, особливо для таких високих наукових тем. Познайомившись з художником-скульптором Максом Созе, я навчився техніці роботи з мідним дротом, який був одночасно гнучким і міцним, який Макс зварював з вправністю, уникнувши надмірного нагрівання, щоб у матеріалі не виникали додаткові напруги.
Мій друг Жак Булер, відомий як Васелін, тоді був професором у Школі мистецтв у Аж-ан-Прованс. Один рік він запропонував мені замінити одного з його колег, який відїхав у закордон, що я й зробив, працюючи напівповною ставкою разом із Созе. Поки я вигадував об'єкти, Макс їх зварював. Наші студенти, навколо нас, зацікавлені, намагалися копіювати нас. У той рік ця частина школи мистецтв у Аж-ан-Прованс перетворилася на якесь серійне виробництво математичних поверхонь.
Якщо ви хочете спробувати — це не складно. Вам потрібен котушка мідного дроту діаметром, скажімо, 1,5 мм, максимум 2 мм, і кільце для розрізання. З цим ви зможете відтворити дві сім’ї кривих, що складають будь-яку поверхню.
Проблема полягає в тому, щоб правильно змоделювати ці об’єкти. Для цього корисно мати можливість рухати точки з’єднання, де перетинаються меридіани та паралелі. Добре рішення — просто зв’язати два металеві дроти ниткою для шиття. Це досить міцно, щоб об’єкт мав стійкість, але досить гладко, щоб дозволити деформації та налагодження.
Тільки тоді, коли ви вважаєте, що об’єкт математично відповідає вашим бажанням, ви можете передати його хтось, хто вміє зварювати срібним паяльником з вправністю і зможе зварити, не нагріваючи стержні, як це вмів Макс із майстерністю.
Одного разу я приніс прототип поверхні Боя, відкривши, як мають бути розташовані меридіани та паралелі. Насамперед, здавалося, можна було зробити так, щоб меридіани нагадували еліпси.
Макс аккуратно скопіював об’єкт. Я тоді відвідав Суріо. Його син (який ніколи не мав терпіння закінчити фізичну ліценцію) грав на комп’ютері Apple II свого батька. Я сказав:
— Жером,
чи бажаєш мати публікацію чистої математики під твоїм ім’ям?
— Ну, чому б і ні? Хто тут має бути вбитий?
— Ніхто. Бачиш цей об’єкт. Візьми транспортир, виміряй ці еліпси і спробуй побудувати напівемпіричне представлення цієї поверхні.
— Можна спробувати, дай...
Два дні потому це було зроблено. Стаття швидко була прийнята до «Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris» і опублікована під нашими іменами: Ж.П. Петі та Ж. Суріо.
Але оскільки батько звався Жан-Марі, а син — Жером, усі математики переконані, що це робота, яку ми зробили разом, Суріо-старший і я.
Відтворення поверхні на комп’ютері за допомогою невеличкого програми BASIC з кількох рядків дуже здивувало багатьох математиків, які очікували щось набагато складніше. Ця справа мала негативні наслідки. У Бернарда Моріна був докторант — Апері, син Апері-старшого, автора незабутнього теореми, що сума кубів цілих чисел є ірраціональним числом. Інше...
Я цього не знав. Наше просунення дуже турбувало Моріна, особливо тому, що я тоді наївно стверджував, що цей метод дозволить описати поверхню з чотирма вухами, яка зробила його відомим, поверхню, яку було збудовано з пташиного сітка Пугом, потім цифровано Максом і т.д.
Морін зіщулив брови:
— Ні, це неможливо!
Ми побачимо це пізніше. Я залишаюся переконаним у протилежному. Але цей вислів був аналогом відомої фрази, яку Архімед сказав римському солдатові, що заважав йому роздумувати — Noli tangere circuleos meos!
На французькій: «Не торкайся моїх кіл!»
Тут було більше в стилі: «Не торкайся моїх еліпсів!»
Пізніше Апері використав моє відкриття, що поверхню Боя можна наділити системою еліптичних меридіанів, щоб побудувати перше неявне рівняння цього об’єкта:
f(x,y,z) = 0
Морін, злений, що бачив мене як втручання в його математичні дослідження, наказав Апері вказати у дисертації, що саме Созе відкрив еліпси. Макс не заперечував, але це неправда. Доказ у моєму підвалі: макет, який я приніс Максу, щоб він його впорядкував.
Нарешті, все це дуже дурно, насправді. Ця історія призначена для того, щоб показати, що математики не більш яскраві, ніж фізики.
Політехнік Колонна, піонер у галузі синтезованих зображень, використовував наші рівняння без згадки їхнього походження. Але є цікавий деталь: якщо ви побачите на екрані зображення поверхні Боя, і це «наше», то обов’язково будуть три легкі «згинальні» місця поблизу полюса. Помилка налагодження рівнянь. Жером, син Суріо, зробив це швидко, і останній легкий удар залізним інструментом біля полюса був би корисним. Це все ще можливо, звичайно, для того, хто захоче.
Сага про поверхню Боя ще не завершена. Для повноти згадаємо ще одного персонажа: Карло Бономі, італійського мільярдера. Я познайомився з ним під час експедиції у трикутник Бермуд, але це інша історія. Ми тоді швидко пливли на його яхті, що була настільки розкішною, що від неї відірвалося дихання, на пошуки загубленої піраміди, про яку згадував Чарльз Берліц у одній із своїх книжок. Ми не знайшли піраміди, і майже були з’їдені багатьма акулами, що мешкали там. Якщо у вас є атлас, місце, де, за твердженням, повинна бути ця дідька «Атлантична піраміда», розташоване на південно-захід від рифу під назвою Кей Сал Балк, за 80 кілометрів на південь від Куби.
Між двома зануреннями та двома вечерями з ікрою я запропонував Бономі спонсорувати масове виготовлення поверхонь Боя. Йому сподобалася ідея, і це мало продовження. Скажемо, що поверхня Боя, що оздоблює зал математики у Палаці Відкриттів у Парижі, була сплачена Бономі та виготовлена Созе. Фінансист мав намір організувати виставку, виготовляючи об’єкти з масивного золотого дроту. Але справа не мала продовження. Здивований його тривалим мовчанням, я зателефонував до його офісу в Мілані. Нажаль, увійшовши у скандал з ложею P2, він був ув’язнений, і його інтерес до топології постраждав безповоротно.
Двоволокнистий накриття поверхні Боя, що є зображенням проективної площини P2, — це сфера S2 (див. «Topologicon»). Пуг збудував це накриття з двох шарів пташиного сітка — об’єкт, який в усьому відповідно вражає, хоча, як уже сказав, я особисто більше люблю мідний дріт і представлення меридіанів-паралелей. Але навіть у чистій математиці:
- De gustibus et coloribus non disputandum.
Перед представленням нотатки — остання історія. Отже, Пуг збудував сім моделей із пташиного сітка, що принесло йому важливу премію, описуючи послідовні етапи перевернення сфери, про які мова буде, коли я знайду п’ять хвилин, щоб розмістити це на сайті, і які були підвішені під стелею кафетерію математичного факультету університету Берклі.
Тому математики з усього світу приїжджали паломниками, щоб захопитися цією чудовою послідовністю. Але в одну ніч моделі були зграблені, і ніхто не знає, що сталося з цими семи об’єктами, які, до речі, були абсолютно непродажними. Хто б міг прийняти таку угоду? Можливо, багатий естет-математик, що фінансував операцію, щоб зберігати їх у захищеній підвалі, задоволений тим, що він єдиний, хто може спостерігати цю восьму чудо