Італійська: Андреа Самбусетті, університет Рима
Натисніть тут
щоб побачити малюнок моделі в масштабі 1:1, яку можна надрукувати та вирізати.
Зробивши чотири копії на картоні двох різних кольорів,
ви зможете самостійно збудувати модель,
приступаючи до її збирання за інструкціями.
Ви, безперечно, бачили дивний предмет, що безперервно обертається зліва на початковій сторінці цього сайту. Що це таке?
Одного дня, коли я знайду час, я встановлю на цьому сайті опис перевернення сфери, як я його ілюстрував у журналі «Pour la Science» за січень 1979 року, тобто... 22 роки тому! Це потребуватиме багато деталей і вступу. Що означає «перевернути сферу»? Для звичайної людини сфера — це просто множина точок простору, що знаходяться на відстані R від певної точки O. Але геометр продовжує називати «сферою» навіть об'єкт, що відповідає «деформованій сфері», наприклад, картоплі. Щоб краще зрозуміти ці поняття, придбайте CD Lanturlu з коміксом «Topologicon». Але математик йде ще далі. Поверхня називається «регулярною», коли у кожній її точці можна визначити дотичну площину. Це вже дозволяє уявити нескінченну кількість можливих регулярних деформацій сфери, у всіх можливих формах картоплі, змінюючи при цьому довільним чином площу цієї поверхні. Проте в нашому фізичному світі людина, що спробує перевернути сферу (тобто вивести її внутрішню поверхню назовні), зіткнеться з неможливістю здійснити самоперетин поверхні. Коли приймається ця передумова, тобто заборонено самоперетинання або навіть просто торкання поверхні, математик говорить про вкладення сфери S2. Але математик завжди може дозволити собі все. Для нього сфера — це «віртуальний», а не матеріальний об'єкт, у якому перетин поверхні вважається можливим. Послідовність малюнків нижче показує сферу, що самоперетинається. Така представлення, що дозволяє самоперетинання, називається «ін'єкцією».
Отже, ін'єкція має множину самоперетинання (тут це проста колова крива). Однак дотична площина повинна змінюватися неперервно. Після цього, коли дивитесь на малюнок вище, ви чітко бачите, що операція переносить частину внутрішньої поверхні (зображеної в зеленому кольорі) назовні. Щоб повністю завершити перевернення, потрібно стиснути цей тип екваторіального «трубопроводу». Тут здається бути проблемою: таке стиснення порушить неперервність дотичної площини, і ця трансформація міститиме крок, який не є ін'єкцією.
Одного дня американський математик Стівен Смейл довів, що «сфера S2 має лише один клас ін'єкцій». Ця таємнича фраза мала наслідком те, що можна було б перейти, за допомогою перетворення, що містить лише справжні ін'єкції, від «стандартної» сфери до її «антіподної» представлення, тобто такого, де кожна точка міняється місцями з антіподною: іншими словами... перевернута сфера. Рауль Ботт був керівником Смейла. Навіть якщо формальний довід цього факту здавався правильним, ніхто не здавався здатним конкретно реалізувати цю операцію перевернення. Ботт продовжував питати Смейла: «Покажіть мені, як ви б це зробили»; а Смейл, відомий своєю прямолінійністю, відповідав: «Я навіть не маю найменшого уявлення». Пізніше Смейл отримав медаль Філдса — еквівалент Нобелівської премії для математики. Заодно, ви, можливо, запитаєтеся, чому не існує Нобелівської премії для математики. Відповідь проста: його дружина втекла з математиком.
Справи залишалися в такому стані багато років, доки американський математик Антоні Філліпс у 1967 році в «Scientific American» опублікував першу версію цього перевернення, дуже складну. Друга була винайдена на початку 70-х років французьким математиком (незрячим) Бернардом Моріном. Я був першим, хто намалював послідовність перетворень, яка стане предметом, як я вже оголосив, наступної статті на цьому сайті, причому досить детально. Проте все це приводить до одного розмірковування. Поверхні можна представляти у поліедричній формі. Куб або тетраедр можна розглядати як поліедричні представлення сфери, оскільки ці об'єкти мають ту саму топологію. Щодо цього питання, зверніться до моєї «Topologicon». Крім того, зрозуміло, що якщо можливо перевернути сферу, то можливо і перевернути куб. Перетворення, винайдене Бернардом Моріном (яке я ілюстрував у статті січня 1979 року в «Pour la Science»), проходить через центральну модель. У цій послідовності є симетрія. Це те, що я називаю «центральною моделлю з чотирма вухами». Я трохи випереджаю. Проте, як сфера підходить для поліедричних представлення, так само це стосується наступних кроків цього перетворення. Той предмет, що обертається на моїй початковій сторінці, — це поліедрична версія центральної моделі перевернення сфери, яку я винайшов близько десяти років тому. Інтерес цих поліедричних моделей полягає в тому, що їх можна збудувати з плоских поверхонь. Їх можна також збудувати з паперу та ножиць. Подивіться на малюнок нижче (дякую, відзначаю, моєму другові Крістофу Тарді, який створив елементи потрібного розміру).
Велике
Це план збирання, який ви бачите з усією загальною перспективою. Але для друку краще перейти на сторінку розрізання. Надрукуйте її. Потім, маючи цей екземпляр, надрукований на звичайній папері вашого принтера, зробіть чотири ідентичні копії, дві на зеленому картоні брістолю, дві — на жовтому. Ви зможете, використовуючи ці вирізані аркуші, збудувати центральну модель перевернення куба.
На елементах для вирізання є пари літер: a, b, c, d, e, f і т.д. Достатньо зігнути аркуш так, щоб однакові літери збіглися, а потім закріпити поверхні скотчем. Наступні малюнки показують, як збирати один із чотирьох елементів. Ось як треба почати згинати один із чотирьох елементів:
Ось два з чотирьох елементів, побачені з різних кутів.
Потім їх розміщують так, щоб утворити об'єкт з симетрією четвертого порядку, де чергуються зелені та жовті елементи. Щоб побачити його у 3D, подивіться на реалізацію Тарді у розділі «віртуальна реальність». Центральна модель зібрана і навіть реалізована у форматі «vrml» у цьому розділі. Ось вона з різних точок зору:
Неможливо сказати, що одна точка відповідає «верху», а інша — «низу», оскільки ці назви повністю довільні. На лівому малюнку центральна точка відповідає «подвійній точці» (де дві поверхні перетинаються) центральної моделі Моріна, а центральна точка правого малюнка відповідає «четверній точці» тієї ж моделі (де перетинаються чотири поверхні). Я мав велику увагу до орієнтації об'єкта, щоб ліва фігура не нагадувала свастику. Крім того, з архітектурної точки зору, ця поліедрична представлення центральної моделі Моріна могла б стати чудовим проектом для Національної соціалістичної культурної будівлі.
Останнє спостереження: не існує хорошого поліедричного представлення перевернення сфери (або куба). Під «гарним» я маю на увазі послідовність моделей, досить явних, які можна описати у вигляді вирізаних аркушів, що відповідають досить простим інструкціям, як у випадку з вищеописаною моделлю. Це було б чудовим дослідженням у цьому напрямку, доступним для кого завгодно, навіть для непрофесіонала, наприклад скульптора. Більше двадцяти років тому я був викладачем скульптури в Ecole des Beaux-Arts у Акс-ан-Провансі, коли директором був мій дорогий друг Жак Буллер. У цих приміщеннях народилася перша меридіанна представлення поверхні Боя за допомогою еліпсів, ключ до побудови першої неявної рівняння, яке подав Апері. Маю відзначити, що вже тоді я був здивований геометричною уявою студентів-художників, яка часто перевищувала уяву... геометрів.
Лічильник встановлений 31 грудня 2001 року. Кількість підключень:
Повернення на сторінку Новини
Початкова сторінка
Зображення
