29 лютого 2010 року

Без назви

Можна думати як краб?

27 лютого 2009 року

Ми висловлюємося, зокрема, за допомогою мови, і вона, як передбачається, є відображенням нашої логічної структури. У нашій мові ми створили двозначну структуру — такі пари, як ТАК і НІ, ПРАВДА і НЕПРАВДА, що призводить до так званої «аристотелівської мислення», за якої кожне твердження (логік скаже «пропозиція») може бути або ПРАВДИВИМ, або НЕПРАВДИВИМ. Це називається принцип виключення третього.

На жаль, досвід не відповідає теорії, і наша мовна практика переповнена нерозв'язними твердженнями, які не є ні правдивими, ні неправдивими, наприклад:

Я брешу

Протягом останнього століття логіки витрачали безліч зусиль, намагаючись побудувати не двозначні логіки. Наведемо приклад тризначної логіки — розмитої логіки, значення істинності якої такі:

Правда Невизначено Хиба

Логіка, яка довела свою практичну придатність у автоматизації, контролі процесів (у інженерії).

Також були спроби побудувати чотиризначну логіку, найбільш класична з яких має наступні значення істинності:

Спроба розширення, яка не виявилася плідною.

У своїй книзі:

Щоб безпосередньо зв'язатися з автором:

Помилка. Автор повідомляє, що в одній з таблиць, наведених у його книзі, є помилка. Йдеться про таблицю на сторінці 29, кольорова версія якої — сторінка 135. Спочатку дякуємо за інтерес до цієї роботи та за вибір купити книгу.

Такі речі трапляються... Є досить велика помилка! У третьому рядку і стовпці замість 1 помилково стоїть 0. Ця правка буде надіслана всім упродовж кількох днів.

Крім того, знаки = і \ знаходяться на діагоналях: ці подвійні лінії, побачені з однієї діагоналі, дають знак =, а з іншої — \, який слід розуміти як «відмінний» у місцях, де вони знаходяться.

Сподіваємося, це дозволить вам продовжити читання без проблем. Повторюємо найглибші подяки (і вибачення!) і залишаємося на вашому розпорядженні, якщо ви знову зіткнетеся з сумнівом... або новою помилкою!

Рис. 2.2, замінити на наведену вище таблицю

Деніс Секо де Люсена запрошує нас на дивну експедицію, з якої читач, можливо, не вийде незашкодженим. Почнемо з аналізу мови — це шлях кожного логіка. Автор пропонує ввести те, що він називає трансверсальністю. У цій перспективі будь-яке твердження може мати чотири форми, симетричні попарно, утворені з «двох симетричних пар». Прикладів у мові дуже багато, але «четверте твердження» іноді важко сформулювати, або взагалі не відповідає жодному існуючому означенням.

Наведемо спочатку приклади, де ця «трансверсальність» виражається чітко. Наприклад, розглянемо поняття руху. Існує чотири способи «рухатися»:

Відразу ж видно пари з їх симетрією. Рух назад — це протилежність руху вперед, і навпаки. Рух — це протилежність зупинки, і навпаки.

Якщо звернутися до топології, можна ввести чотири прислівники або прислівникові звороти:

29 лютого 2010 року: мій друг Жак Легаллан запропонував, щоб четверте твердження було сформульоване краще так:

Якщо звернутися до кольорів:

27 лютого 2010 року: Джі запропонував:

Граючи з часом:

Прислівник «ніколи» є часовим еквівалентом прислівникового звороту «ніде» (див. вище).

Цей спосіб мислення нагадує текст уммітів про логіку, який, якщо я не помиляюся, згадує чотири значення істинності:

Якщо повернутися до значень істинності класичної чотиризначної логіки:

27 лютого 2010 року: слід переосмислити четверте значення як «не відповідає цьому типу класифікації»:

Розглянемо дійсні числа. У нас є:

Четверте твердження може бути:

Перейдемо до імплікації:

Видно, що виникають чотири способи «сказати», які відрізняються від класичної чотиризначної логіки, про яку йшлося раніше. Симетрія двох останніх тверджень інша. Автор пропонує називати ці пари тверджень, ознак, «трансверсальними».

Те, як ми подаємо матеріал, не відповідає тому, як це робить автор у своїй книзі, яку я рекомендую прочитати. Але відразу виникає питання: «Що тут сховано?». Це питання відведе вас далеко. Автор, науковець, знайшов початок у листі, який отримав у 1992 році від таємничих кореспондентів, що називали себе «уммітами», лист, який був направлено з Ріяду, Саудівська Аравія. Для тих, хто не знає цієї історії, корисно нагадати контекст. У масі документів, які були привезені з Іспанії з середини 70-х років, автори цих текстів надзвичайно наголошували на необхідності відмовитися від аристотелівської логіки і перейти до чотиризначної логіки.

Протягом багатьох років я намагався виконати різні спроби. У 1992 році у мене був перший Mac Intosh, що працював на 2 МГц, і, звичайно, повністю не мав модема чи будь-якого засобу зв'язку ззовні. У цьому комп'ютері я записував думки, які були відомі лише мені. Під впливом теореми Геделя я згадав, що вона ґрунтується на арифметиці (обробці натуральних чисел), аксіоматизованій наприкінці минулого століття математиком Пеано. Математик Гаусс у своє час винайшов те, що тепер називають «цілими Гауса», тобто комплексні числа з цілими значеннями.

Я помітив, що класично ці цілі Гауса розглядаються як пари натуральних чисел (a, b), і ніяка аксіоматизація не була спробована для їх побудови, крім того, що їм було надано «дві цілі».

Декілька днів після того, як я записав ці думки на свій жорсткий диск, я здивувався, отримавши листа з Саудівської Аравії, який містив саме ці думки.

Зміст цього листа

Так вийшло, що Деніс, який є науковцем, знайшов у цьому дивному листі початок десятирічної дослідницької діяльності, про яку він розповів у своїй новій книзі. Оскільки джерело дуже екзотичне, навіть суперечливе, зрозуміло, чому він вирішив видати її під псевдонімом.

Чи пам'ятаєте ви книгу Жюля Верна «Путівка в центр Землі», де герої грають з таємничим повідомленням, залишеним Аарне Сакнудсеном? Об’єднуючи його елементи, вони врешті виявляють шлях до центру Землі. Тож очікуйте, що в книзі Деніса щось подібне.

Він не перший, хто спробував цю пригоду, але досі всі спроби виявилися безрезультатними, навіть якщо іноді вони здавалися привабливими. Я думаю про спробу канадця Нормана Молланта на сайті ummo.science. Математик сказав би: «Можна створювати алгебри до нескінченності» і грати з ними, як з набором LEGO. Створення елементів нового LEGO — це інша справа.

Де ж «більше» у роботі Деніса?

Він починає з того, що в листі з Ріяду, який він відкрив, знаходить шлях до математичних об’єктів, винайдених ірландським математиком Гамільтоном у 1843 роц — кватерніонів. Їх найчастіше знаходять у працях у вигляді розширення комплексних чисел:

Q = a + b i + c j + d k

де

i² = -1

j² = -1

k² = -1

i j = k

i j² = k j

i j = - j i (антисиметричність)

j k = i

j k = - k j

k i = j

k i = - i k

Добутки є антисиметричними.

Коли Гамільтон винайшов ці кватерніони і відкрив їхній неймовірний розмах властивостей, він був настільки захоплений своїм відкриттям, що сказав:

• Все це, без сумніву, має застосування в фізиці, але хто ж може сказати, яке саме?

Він, звичайно, не міг уявити, що цей зв’язок буде встановлено з появи квантової механіки. Наприклад, матриці Паулі є кватерніонами.

Автор показує, як чисто геометричні міркування, виходячи з змісту листа, дозволяють зібратися до геометричної побудови кватерніонів (через «комплексну площину з двома ортогональними сторонами»). Книга називається «Таємниця листа з Ріяду». Ця таємниця тут розкривається. У листі йдеться про відому теорему Ферма, яка стверджує, що рівняння з цілими значеннями

an = bn + cn

має розв’язок лише при n ≤ 2.

Математик Лагранж винайшов схожу теорему, яку Ферма раніше також сформулював як гіпотезу: будь-яке ціле число є сумою чотирьох квадратів.

N (довільне ціле число) = a² + b² + c² + d²

Потрібно включити нуль серед цих цілих чисел, щоб:

3 = 1² + 1² + 1² + 0²

Пізніша доведення, що використовує кватерніони, базується на методі математичної індукції.

Бажано, щоб Деніс знайшов доведення теореми Лагранжа за допомогою кватерніонів і опублікував його на своєму сайті.

Нехай є кватерніон:

Q = (a, b, c, d)

Його спряжений визначається як:

спряжений Q = Q (a, -b, -c, -d)

Деніс формулює гіпотезу, що теорема Ферма, у вигляді, як її сформулював він, є наслідком кватерніонної запису, за якою рівняння:

(Q₁Q₁)ⁿ = (Q₂Q₂)ⁿ + (Q₃Q₃)ⁿ

де кватерніони мають цілі компоненти, має розв’язок лише при n ≤ 2.

27 лютого 2010 року: помічаю, що ці два твердження еквівалентні, оскільки модуль кватерніона (a, b, c, d) дорівнює a² + b² + c² + d². Тобто ціле число згідно