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Le problème des singularités.
Sur une sphère, quel que soit le système de coordonnées choisi, vous ne pouvez pas éviter les singularités (par exemple, deux singularités polaires) :
(50)
Remarquez qu’il est possible de cartographier une sphère à l’aide d’une seule « singularité polaire ». Coupez la sphère selon cette première famille de plans passant tous par une même droite :
(51)
Ensuite, introduisez la deuxième famille de plans, qui intersecte également la sphère.
(52)
Si nous mettons de côté cette zone locale problématique, ailleurs il n’y a aucun problème. En observant la sphère depuis l’autre côté, vous obtenez ceci :
(53)
Toutefois, aux points S, les valeurs de a et b ne sont tout simplement pas définies !
Or, une sphère est fondamentalement une surface régulière. Faites tourner un œuf dans vos mains : vous ne découvrirez aucun point particulier, aucune singularité intrinsèque.
(54)
Conclusion : ces singularités sont un artefact dû au choix des coordonnées.
Ces singularités polaires ne sont pas « réelles », elles ne constituent pas des singularités intrinsèques. Vous choisissez un système de coordonnées, puis un point (ou deux) arbitraire devient singulier. Les deux singularités d’une sphère cartographiée — le pôle nord et le pôle sud — sont une création purement artificielle due au choix du système de coordonnées.
Version originale (anglais)
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The singularities' problem.
On a sphere, if you choose any system of coordinates, you cannot avoid singularities (for example two polar singularitie):
(50)
Notice you can map a sphere with a single "polar singularity". Cut the sphere by this first family of planes, passing by the same straight line :
(51)
Then introduce the second family of planes, which intersects the sphere too.
(52)
If we except this local mess, elsewhere there is no problem. Looking at the sphere from the other side, you get this :
(53)
But, at the S points, the values of a and b are simply not defined !
Howevere a sphere is basically a regular surface. Turn an egg in your hand : you will not discover any peculiar point, any intrinsic singularities.
(54)
Conclusion : these singularity are an artefact due to the choice of coordinates.
These polar singularities are not "real", are not *intrinsic singularity *. You choose a system of coordinates. Then an arbitrary point, or two, become singular. The two singularities of a mapped sphere : the northern pole and the southern pole, are a pure creation of the choice of coordinates system, an artifact.