Một hệ tiên đề mới về nhóm

Một hệ tiên đề mới về nhóm **

...Souriau sống trong một căn hộ ở Aix cổ kính. Cánh cửa ra đường thật tuyệt vời. Trong hành lang, có một phương tiện khá đặc biệt: một chiếc xe kiệu cổ xưa, thuộc về chủ nhà, một cô gái, tôi nghĩ là một nhà khảo cổ học. Chiếc xe được để sát tường. Chỉ cần tìm hai người khiêng, luồn hai thanh gỗ dài vào các vòng, rồi ngồi lên để đi dạo. Các cửa sổ có kính: kính hai bên có thể hạ xuống không bằng tay quay mà bằng cách điều chỉnh dây da, giống như trong các toa xe lửa thời thơ ấu của tôi.

...Tất cả điều này thật khiến người ta mơ mộng. Tôi nhận ra rằng mình chưa từng đi kiệu bao giờ. Tôi tin chắc rằng trong thời kỳ thất nghiệp như hiện nay, có thể có người kiếm sống bằng cách thiết lập tuyến kiệu đầu tiên chạy đều đặn ở Aix cổ kính. Chỉ cần chế tạo một chiếc xe giống những chiếc kiệu xưa. Chắc chắn không khó lắm. Sau đó, mua hai bộ trang phục thêu thùa, hai chiếc tóc giả, và đi thôi. Chặng đường: Cours Mirabeau. Đủ để làm được rồi. Sau đó, chỉ cần mơ mộng, thêm chút tưởng tượng.

...Jean-Marie sống một mình với chú mèo Pioum trong căn hộ rộng lớn, đầy vàng son, vách gỗ chạm trổ. Pioum thật dễ thương. Dù vậy, tôi không thực sự ưa mèo. Nhưng con mèo này cực kỳ thân thiện và tình cảm.

Chúng tôi thường làm việc ở nhà bếp, một tầng trên. Một căn phòng nhỏ nằm dưới mái hiên, chật hẹp so với kích thước đồ sộ của các phòng phía dưới. Mỗi lần Jean-Marie đều cố gắng bắt tôi uống loại đồ uống yêu thích của anh: Fernet-Branca, có thành phần từ nghệ tây, mà tôi thấy thật kinh khủng, nhưng anh lại cho rằng nó có mọi công dụng.

...Khi đi dạo trong thành phố, anh luôn mang theo máy định vị GPS, không bao giờ rời khỏi tay. Thật sự rất kỳ lạ khi được dẫn đường bởi các vệ tinh cách nơi mình đang đi bộ tới 40.000 km. Để có tín hiệu tốt hơn, Souriau có xu hướng đi thẳng theo trục đường, mắt dán chặt vào màn hình tinh thể lỏng. Hiệu quả, dường như, nhưng vẫn khá nguy hiểm.

...Tôi thấy chúng tôi vui vẻ rất nhiều. Một buổi tối tháng mười hai, tôi đến thăm anh, và cuộc trò chuyện sau đây đã xảy ra.

• Tôi sẽ nói về nhóm. Bạn còn nhớ các tiên đề không?

• Có sáu tiên đề. Đó là:

1 - Tồn tại các phần tử a, b, c... thuộc một tập hợp E

2 - Tồn tại một phép toán nội tại, ký hiệu o ("tròn"), cho phép kết hợp hai phần tử của một tập hợp.

a thuộc tập hợp E

b thuộc tập hợp E

a o b thuộc tập hợp E

3 - Phép toán này là kết hợp:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Tồn tại một phần tử trung tính e sao cho:

a o e = e o a = a

5 - Mọi phần tử a trong tập hợp đều có phần tử nghịch đảo, ký hiệu a-1, sao cho:

a-1 o a = a o a-1 = e

Có năm chứ?

• Cuối cùng, năm, bốn, hay một. Không có quy tắc tuyệt đối nào về việc đánh số các tiên đề. Ta hoàn toàn có thể gộp tiên đề 1 và 2 thành một:

• Tồn tại các phần tử a, b, c, v.v., thuộc tập hợp E, được trang bị một luật kết hợp nội tại thỏa mãn:

a thuộc tập hợp E

b thuộc tập hợp E

a o b thuộc tập hợp E

Điều này tương đương.

• Được rồi, năm, bốn, chẳng sao. Bạn muốn nói gì?

• Tôi sẽ loại bỏ những gì bạn gọi là tiên đề 4 và 5, định nghĩa phần tử trung tính và nghịch đảo, thay vào đó là tiên đề bánh sandwich. Tổng cộng, các tiên đề là:

1 - Tồn tại các phần tử a, b, c... thuộc tập hợp E

2 - Tồn tại một phép toán nội tại, ký hiệu o ("tròn"), cho phép kết hợp hai phần tử của một tập hợp.

a thuộc tập hợp E

b thuộc tập hợp E

a o b thuộc tập hợp E

3 - Phép toán này là kết hợp:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Cho ba phần tử a, b, c thuộc tập hợp E.

Xét phương trình:

a o y o b = c

Phương trình này có nghiệm duy nhất.

Đây là điều tôi gọi là tiên đề bánh sandwich, trong đó "thịt" y được kẹp giữa hai phần tử a và b, còn c là phần sandwich. Tiên đề có nghĩa:

Luôn luôn có thể lấy thịt ra khỏi một chiếc bánh sandwich.

Tôi nói rằng các tiên đề này định nghĩa nhóm, chúng tương đương với các tiên đề trước đó.

• Nghiệm duy nhất y thuộc tập hợp E, vì phép toán là nội tại và kết hợp.

• Tất nhiên, điều đó rõ ràng.

• Nhưng nói ra thì tốt hơn. Tôi không biết bạn sẽ làm thế nào để tìm lại hai tiên đề liên quan đến phần tử trung tính và sự tồn tại của nghịch đảo, nhưng tôi ít nhất hiểu được lý do khiến bạn nghĩ ra ý tưởng này.

• Tôi tự hỏi "nó có ích gì?"

• Chính xác. Việc có một phần tử trung tính thì có ích gì? Theo nghĩa đen, nó có nghĩa là "nếu tôi có tập hợp E và một phần tử trung tính, tôi có thể kết hợp mọi phần tử trong tập hợp này với phần tử đó và thu được chính nó". Điều đó chẳng giúp ích gì cho tôi. Tương tự, nghịch đảo thì có ích gì? Khi làm các phép tính trên nhóm, trên một đối tượng bất kỳ nào đó, ta luôn tìm cách nhân về bên phải hoặc bên trái bằng các phần tử hoặc nghịch đảo của chúng để tạo ra a o a-1 hoặc a-1 o a, rồi thay thế bằng e, sau đó là b o e hoặc e o b, thay thế bằng b. Tiên đề bánh sandwich của bạn thật "chức năng".

• Nếu bạn muốn. Bây giờ hãy chuyển sang các định lý suy ra từ tiên đề bánh sandwich. Định lý đầu tiên là:

I - Tồn tại một phần tử trung tính, khi kết hợp với chính nó, cho ra chính nó:

e = e o e

II - Phần tử trung tính này là duy nhất.

Chứng minh:

Bắt đầu từ tiên đề bánh sandwich. Phương trình

a o y o b = c

có nghiệm y duy nhất.

Điều này cũng đúng khi b = c = a, do đó

a o y o a = a

có nghiệm duy nhất. Nhân hai vế về bên phải với y:

a o y o a o y = a o y

Gọi a o y = e

...Đây là một phần tử thuộc tập hợp, vì a và y thuộc tập hợp và phép toán là nội tại. Do đó tồn tại một phần tử trong tập hợp sao cho:

e o e = e

...Định lý I được chứng minh. Bây giờ chuyển sang tính duy nhất, định lý II. Nếu không duy nhất, sẽ tồn tại một phần tử khác trong tập hợp, gọi là f, thỏa mãn:

f o f = f

Ta có:

e o e = e

Nhân hai vế về bên phải với f:

e o e o f = e o f

Nhân lại về bên phải với e:

e o e o f o e = e o f o e

Sử dụng tính kết hợp:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Đây là hai chiếc bánh sandwich. Gọi chúng là:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Theo tiên đề bánh sandwich, ta có thể "lấy thịt ra", tức là tính toán các biểu thức của ( e o f ) và f sẽ bằng nhau, vì p = q. Do đó:

( e o f ) = f

...Lặp lại từ giả thiết về phần tử thứ hai f:

f o f = f

...Nhân về bên phải với e, hai lần nhân về bên trái:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Sử dụng tính kết hợp:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Sử dụng lần nữa tiên đề bánh sandwich, suy ra:

e o f = e

do đó:

e = f

Định lý III: Nếu tôi lấy phần tử e "bằng bình phương của chính nó", thì nó kéo theo:

a o e = a

Chứng minh:

Ta vẫn dùng tiên đề bánh sandwich. Bắt đầu từ định nghĩa của e:

e o e = e

nhân lần lượt về bên phải với a và e:

e o e o a o e = e o a o e

Sử dụng tính kết hợp.

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Do đó:

e o a = a

Bắt đầu từ:

e o e = e

và nhân lần lượt về bên trái với a và e:

e o a o e o e = e o a o e

và sử dụng tính kết hợp.

e o ( a o e ) o e = e o a o e

suy ra:

a o e = a

Định lý III được chứng minh.

Chuyển sang định lý IV

(tồn tại nghịch đảo, ký hiệu a-1).

Phát biểu: Với một phần tử bất kỳ trong tập hợp, tồn tại duy nhất một phần tử thỏa mãn phương trình:

a o y o a = a

Ta sẽ ký hiệu phần tử này là a-1 và gọi nó là nghịch đảo của a. Phần tử này thỏa mãn các tính chất:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

Chứng minh.

Sự tồn tại và duy nhất của phần tử này là hệ quả đơn giản từ tiên đề bánh sandwich khi được phát biểu như sau:

Khi hai miếng bánh mì giống nhau và giống với cả chiếc bánh sandwich, thì thịt chính là nghịch đảo của miếng bánh mì (hoặc của chiếc bánh sandwich).

a o y o a = a

Ta có thể áp dụng tính kết hợp theo hai cách:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Mà ta đã biết:

e o a = a

a o e = a

Do đó nghiệm y thỏa mãn:

a o y = e

y o a = e

Chứng minh nghiệm này là duy nhất. Nếu không, ta có một nghiệm khác

a o z = e

z o a = e

Nhân phương trình đầu tiên với y về bên trái:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

nhưng y o a = e, nên:

z = y

Ta gọi nghiệm này là a-1, nghiệm duy nhất của phương trình:

a o a-1 o a = a

Như vậy, bộ tiên đề mới dẫn đến cùng các tính chất mà theo cách thông thường định nghĩa nhóm.

Do đó, ta có thể định nghĩa nhóm bằng bộ tiên đề mới này:

Định nghĩa nhóm.

1 - Tồn tại các phần tử a, b, c... thuộc tập hợp E

2 - Tồn tại một phép toán nội tại, ký hiệu o ("tròn"), cho phép kết hợp hai phần tử của một tập hợp.

a thuộc tập hợp E

b thuộc tập hợp E

a o b thuộc tập hợp E

3 - Phép toán này là kết hợp:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Cho ba phần tử a, b, c thuộc tập hợp E.

Xét phương trình:

a o y o b = c

Phương trình này có nghiệm duy nhất.

Nếu các phần tử của tập hợp E, cùng với phép toán kết hợp nội tại của nó, thỏa mãn bốn tiên đề này, tôi nói rằng chúng tạo thành một nhóm.

Định lý: Phần tử trung tính là chính nó là nghịch đảo. Định nghĩa mới về phần tử trung tính, bằng một phương trình duy nhất, dẫn đến một cách chứng minh khác cho tính chất này.

e o e = e

Đây là định nghĩa của phần tử đặc biệt e. Nhưng tiên đề bánh sandwich khiến phương trình này trùng với tính chất (không còn là định nghĩa) về nghịch đảo.

Định lý khác: Nghịch đảo của nghịch đảo bằng chính phần tử đó:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a là nghịch đảo của a-1. Từ đó suy ra tính chất.

Chứng minh rằng:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

Ta tính:

a o b o b-1 o a-1 và b-1 o a-1 o a o b

Chứng minh rằng hai biểu thức này đều bằng e.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

Tương tự với biểu thức kia.

• Đây là một cách tiếp cận khác về khái niệm nhóm.

• Ontology của nhóm.

• Nếu bạn muốn.

• Nhưng điều gì đó khiến tôi nghĩ rằng ý tưởng này sẽ rất hữu ích.

• Bây giờ, hãy quên hết đi, kể cả tiên đề bánh sandwich. Xét một tập hợp E với một phép toán kết hợp nội tại o. Giả sử trong tập hợp này tồn tại một phần tử, khi kết hợp với mọi phần tử khác, đóng vai trò là phần tử trung tính:

a o e = e o a = a - Nó có duy nhất không?

• Nếu tồn tại, nó chắc chắn phải duy nhất, điều này có thể chứng minh.

• À, đúng vậy.

• Tôi sẽ nói rằng hai phần tử a và b liên hệ với nhau bởi quan hệ nghịch đảo nếu:

a o b = b o a = e

Nếu cho trước a, thì b là nghịch đảo của nó. Tôi nói rằng nếu ta giới hạn tập hợp vào tập con các phần tử có nghịch đảo, thì tập con này tạo thành một nhóm. Đây là cách xây dựng nhóm. Nói cách khác, ta chọn trong tập hợp những phần tử thỏa mãn tính chất này, và tôi nói rằng điều đó đủ để khẳng định rằng tập con này tạo thành một nhóm.

Cần chứng minh rằng tính chất này là nội tại.

• Bạn muốn nói gì?

• Cho hai phần tử a và a' thỏa mãn tính chất, tức là:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a có nghịch đảo là b

a' có nghịch đảo là b'. Chúng nằm trong tập con đang xét. Cần chứng minh rằng a o a' cũng có nghịch đảo.

Bỏ qua các dấu "tròn", nặng nề.

a' o b' = e

nhân về bên trái với a và về bên phải với b:

a a' b' b = a e b = a b = e

Do đó:

( a a' )( b' b ) = e

Bắt đầu từ:

b o a = e

nhân về bên trái với b' và về bên phải với a':

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

( b' b )( a a' ) = e

Do đó phần tử thu được khi kết hợp a và a', mà cả hai đều có nghịch đảo, cũng có nghịch đảo.

• Còn lại là chứng minh tập con này thực sự tạo thành một nhóm.

• Và để làm điều đó, tôi sẽ chứng minh rằng tập con này thỏa mãn tiên đề bánh sandwich, tức là:

a y b = c

có nghiệm y duy nhất.

• Tôi hiểu. Về mặt tiên đề, bạn đang làm ngược lại với lúc trước. Trước đây bạn đã cho tiên đề bánh sandwich và chứng minh điều đó kéo theo sự tồn tại của nghịch đảo. Bây giờ bạn giả sử rằng mọi phần tử trong tập hợp đều có nghịch đảo, và sẽ tìm cách dùng tính chất này để phục hồi tiên đề bánh sandwich.

• Cách tốt nhất để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất là tự xây dựng nghiệm đó. Nhân phương trình trên về bên trái với a-1 và về bên phải với b-1.

a-1 a y b b-1 = a-1 c b-1

( a-1 a ) y ( b b-1 ) = a-1 c b-1

y = a-1 c b-1

• Như vậy y thực sự là nghiệm của phương trình:

a y b = c

Khi thay nghiệm đã xây dựng vào, ta có:

a ( a-1 c b-1 ) b = c

...Bằng cách này, ta chấp nhận được việc thay đổi dấu ngoặc, mở rộng tính kết hợp. Ta đã giả sử (đây là một trong các tiên đề) rằng có thể tách riêng hai phần tử trong một chuỗi phép toán:

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

Cần chứng minh rằng được phép đặt ba phần tử vào trong hai dấu ngoặc. Nhưng ta sẽ chấp nhận điều này mà không cần chứng minh.

Ứng dụng:

...Xét tập hợp các số thực với phép nhân x làm phép toán kết hợp. Nó là nội tại, nhưng theo bộ tiên đề mới này thì không phải là nhóm. Thật vậy, phương trình định nghĩa phần tử e:

e o e = e

có hai nghiệm:

e = +1 và e = -1

...Xét cách xây dựng trước đó. Ta cho một tập hợp (các số thực), một phép toán kết hợp (phép nhân). Tập hợp này có phần tử trung tính 1, nhưng không được định nghĩa là nghiệm của

e o e = e

mà là phần tử mà khi kết hợp với mọi phần tử khác trong nhóm (kể cả chính nó) đều cho ra chính nó, nói cách khác là định nghĩa cổ điển:

Với mọi a thuộc tập hợp E, ta có:

e o a = a o e = a

Nếu bắt đầu từ định nghĩa cổ điển về nghịch đảo:

a o a-1 = a-1 o a = e

...Chúng ta đã chứng minh rằng tập con các phần tử có nghịch đảo tạo thành một nhóm. Do đó, các số thực trừ đi 0 tạo thành một nhóm.

Xét các ma trận vuông kích thước (n,n). Chúng có phần tử trung tính:

với các phần tử bằng 0 ngoài đường chéo chính, còn đường chéo chính đầy các "1".

Các ma trận khả nghịch tạo thành một nhóm, gọi là Nhóm tuyến tính GL(n).

• Tôi thấy rất thích điều này.

• Hmm... đó chỉ là một biến thể của hệ tiên đề cổ điển. Tôi đã trình bày điều này tại một hội thảo triết học khoa học ở Grenoble tuần trước.

TIẾP THEO