Biểu diễn giải tích của mặt Boy

f5101 Một biểu diễn giải tích của mặt Boy J.P. Petit và J. Souriau .

**...**Dưới đây là bản sao của một bài báo đăng trên Tạp chí Khoa học Paris, ký tên J.P.Petit và J.Souriau, năm 1981.

**...**Công việc này có một câu chuyện. Cho đến khi tôi ra mắt cuốn sách Topologicon, xuất bản bởi Belin, trong loạt sách Những cuộc phiêu lưu của Anselme Lanturlu, năm 1985, các biểu diễn của mặt Boy trong các tài liệu chuyên ngành rất ít ỏi. Người ta có thể tìm thấy ở đây và ở đó những bức ảnh của các mô hình được làm bằng bột thạch hoặc lưới gà. Charles Pugh, thuộc khoa Toán của Đại học Berkeley, là chuyên gia hàng đầu thế giới về lưới gà. Chính ông đã nhận được một giải thưởng lớn về mặt tài chính khi thực hiện các mô hình mô tả việc lật ngược mặt cầu theo Bernard Morin, các mô hình này sau đó được số hóa bởi Nelson Max để biến thành một bộ phim lan truyền khắp các khoa Toán trên toàn thế giới.

**...**Nhưng tôi cảm thấy lưới gà là một vật liệu không cao cấp, đặc biệt là với các chủ đề khoa học cao cấp. Sau khi quen với một nghệ sĩ tên là Max Sauze, tôi học cách sử dụng dây đồng, vừa mềm dẻo vừa cứng cáp, mà Max hàn một cách khéo léo, cố gắng không làm nóng quá nhiều để tránh tạo ra các ứng suất không mong muốn trong vật liệu.

**...**Bạn tôi Jacques Boulier, biệt danh Vasselin, lúc đó là giảng viên tại Trường Nghệ thuật Aix-en-Provence. Một năm, ông đề nghị tôi thay thế một giáo sư của ông đi nước ngoài, điều tôi đã làm, đảm nhận một công việc bán thời gian cùng với Sauze. Trong khi tôi sáng tạo các vật thể, Max hàn chúng. Các sinh viên của chúng tôi, xung quanh chúng tôi, tò mò, cố gắng bắt chước chúng tôi hết sức có thể. Vào năm đó, khu vực của Trường Nghệ thuật Aix-en-Provence trở thành một nhà máy sản xuất hàng loạt các mặt toán học.

**...**Nếu bạn muốn thử, điều đó không khó. Bạn cần một cuộn dây đồng, khoảng 1,5 mm đường kính, tối đa 2 mm, và một cặp kìm cắt. Với những thứ đó, bạn có thể mô phỏng hai họ đường cong tạo nên bất kỳ bề mặt nào.

**...**Vấn đề là làm thế nào để định hình các vật thể một cách phù hợp. Để làm được điều đó, tốt hơn hết là có thể trượt các điểm nối, nơi các "kinh tuyến" và "vĩ tuyến" giao nhau. Một giải pháp tốt là chỉ cần buộc hai dây kim loại bằng chỉ may. Điều này đủ chặt để tạo độ bền cho vật thể, nhưng đủ trơn trượt để cho phép biến dạng và điều chỉnh.

**...**Chỉ khi bạn cho rằng vật thể đã phù hợp với mong muốn toán học của mình, bạn mới có thể trao nó cho người nào đó biết dùng hàn bạc một cách khéo léo và biết hàn mà không làm nóng các thanh, điều mà Max làm một cách tinh tế.

**...**Một ngày, tôi mang theo một mẫu thử của mặt Boy, đã khám phá ra cách các kinh tuyến và vĩ tuyến nên sắp xếp. Dường như, người ta có thể làm cho các kinh tuyến giống hệt một họ các đường elip.

**...**Max đã sao chép vật thể một cách cẩn thận. Tôi đến nhà Souriau. Con trai ông (người chưa bao giờ có kiên nhẫn để hoàn thành bằng cấp vật lý) đang chơi với máy tính Apple II của cha. Tôi nói với anh ta:

Jérôme, anh có muốn có một bài báo toán học thuần túy mang tên anh không?
À, tại sao không? Phải giết ai để có được điều đó?
Không ai. Anh thấy vật thể này. Lấy thước đo, đo những đường elip này và cố gắng xây dựng một biểu diễn bán thực nghiệm của bề mặt này.
Chúng ta có thể thử, đưa đây...

**...**Hai ngày sau, nó đã hoàn thành. Bài viết được chấp nhận nhanh chóng tại Tạp chí Khoa học Paris và được công bố dưới tên của chúng tôi: J.P.Petit và J.Souriau.

**...**Nhưng vì cha tên là Jean-Marie và con trai tên là Jérôme, tất cả các nhà toán học đều tin rằng đây là công việc mà chúng tôi đã làm cùng nhau, Souriau cha và tôi.

**...**Việc vẽ mặt trên máy tính bằng một chương trình BASIC nhỏ đã gây bất ngờ cho rất nhiều nhà toán học, những người kỳ vọng vào điều gì đó phức tạp hơn. Sự việc đã có một hậu quả không tốt. Nhà toán học Bernard Morin có một sinh viên nghiên cứu tiến sĩ, Apéry, con trai của Apéry cha, tác giả của định lý vô cùng đáng kinh ngạc rằng tổng các lập phương của các số nguyên là một số vô tỉ. Ngoài ra...

**...**Tôi không biết. Sự tiến bộ của chúng tôi đã làm Morin lo lắng, đặc biệt là khi tôi khẳng định một cách ngây thơ rằng phương pháp này có thể mô tả bề mặt có bốn lỗ tai nổi tiếng của ông, bề mặt đã được xây dựng bằng lưới gà của Pugh, sau đó được số hóa bởi Max, v.v.

Morin nhíu mày:

Không, điều đó là không thể!

**...**Chúng ta sẽ xem xét điều đó sau. Tôi vẫn tin ngược lại. Nhưng câu nói đó là sự đối lập của câu nói nổi tiếng mà Archimède đã nói với binh sĩ La Mã, người đến quấy rầy ông trong suy nghĩ - Noli tangere circuleos meos!

Trong tiếng Pháp "đừng chạm vào các vòng tròn của tôi!".

Ở đây, nó gần như "đừng chạm vào các đường elip của tôi!".

**...**Sau này, Apéry đã khai thác phát hiện của tôi, rằng người ta có thể trang bị cho mặt Boy một hệ thống các kinh tuyến elip, để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên của vật thể:

f (x,y,z ) = 0

**...**Morin tức giận vì tôi xuất hiện như một người quấy rối trong các công trình toán học của ông, đã bắt Apéry phải làm rõ trong luận án của anh ấy rằng chính Sauze đã tìm ra ý tưởng về các đường elip. Max không phủ nhận, nhưng điều đó không chính xác. Bằng chứng nằm trong tầng hầm của tôi: mô hình mà tôi mang đến Max để anh ấy hoàn thiện.

**...**Cuối cùng, mọi thứ khá vô lý. Câu chuyện này nhằm minh họa rằng các nhà toán học không thông minh hơn các nhà vật lý.

**...**Nhà kỹ sư Colonna, người tiên phong trong lĩnh vực hình ảnh máy tính, đã sử dụng tất cả các phương trình của chúng tôi, không ghi nguồn gốc. Nhưng có một chi tiết thú vị, nếu bạn xem trên màn hình các hình ảnh của mặt Boy. Nếu đó là "của chúng ta", nó sẽ hiển thị ba nếp gấp nhỏ gần cực của nó. Một sai sót trong việc điều chỉnh phương trình. Jérôme, con trai của Souriau, đã làm nhanh và một cú búa nhỏ gần cực sẽ không thừa. Điều này vẫn có thể thực hiện được, bởi bất kỳ ai muốn.

**...**Cuộc phiêu lưu của mặt Boy chưa kết thúc. Để đầy đủ, hãy đề cập đến một nhân vật: Carlo Bonomi, một tỷ phú người Ý. Tôi quen biết ông trong một chuyến thám hiểm đến tam giác Bermuda (nhưng đây là một câu chuyện khác). Chúng tôi đang di chuyển nhanh trên du thuyền của ông, sang trọng đến mức làm bạn thở không ra hơi, tìm kiếm một kim tự tháp bị chìm, được đề cập bởi một người nào đó trong một cuốn sách của Charles Berlitz. Chúng tôi không tìm thấy kim tự tháp, và chúng tôi gần như bị cá mập ăn thịt. Nếu bạn có một bản đồ, nơi mà "Kim tự tháp Atlantis" đáng ghét được cho là nằm ở phía tây nam một rạn san hô gọi là Cay Sal Balk, cách Cuba 50 dặm về phía nam.

**...**Giữa hai lần lặn và hai bữa tối với cá hồi, tôi đã đề nghị Bonomi tài trợ sản xuất hàng loạt mặt Boy. Ý tưởng này khiến ông ấy thích thú và có một kết quả. Nói cách khác, mặt Boy trang trí phòng Toán của Bảo tàng Khám phá ở Paris được tài trợ bởi Bonomi và được thực hiện bởi Sauze. Người tài trợ dự định tổ chức một triển lãm, nơi các vật thể được chế tạo bằng dây vàng nguyên chất. Nhưng sự việc không đi xa. Bất ngờ vì sự im lặng kéo dài, tôi gọi văn phòng của ông ở Milan. Thật đáng tiếc, ông đã bị giam giữ vì liên quan đến bê bối hội P2, và sự quan tâm của ông đối với topo đã bị tổn thương một cách không thể phục hồi.

**...**Lớp phủ hai lớp của mặt Boy, hình ảnh của P2, là một mặt cầu S2 (xem Topologicon). Pugh đã xây dựng lớp phủ này bằng hai lớp lưới gà, một vật thể đáng kinh ngạc ở mọi khía cạnh, dù tôi cá rằng tôi vẫn thích dây đồng và biểu diễn kinh tuyến-vĩ tuyến hơn. Nhưng ngay cả trong toán học thuần túy:

De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Trước khi trình bày bài báo, một câu chuyện nhỏ nữa. Charles Pugh đã xây dựng bảy mô hình bằng lưới gà, điều đó đã mang lại cho ông một giải thưởng lớn, mô tả các bước tiếp theo trong việc lật ngược mặt cầu, mà tôi sẽ nói đến khi tôi tìm thấy năm phút để đưa lên trang web, và chúng đã được treo trên trần nhà của phòng ăn của khoa Toán tại Đại học Berkeley.

**...**Các nhà toán học trên toàn thế giới đã đến hành hương để ngưỡng mộ chuỗi tuyệt vời này. Nhưng một đêm, các mô hình đã bị trộm và không ai biết điều gì đã xảy ra với bảy vật thể đó, những vật thể này nói chung là không thể bán được. Ai sẽ chấp nhận giao dịch như vậy? Trừ khi một người sưu tập giàu có, vừa là nghệ sĩ vừa là nhà toán học, đã tài trợ cho việc này, nhằm lưu trữ chúng trong một hầm an toàn, chỉ để vui sướng của việc trở thành người duy nhất có thể chiêm ngưỡng một trong tám kỳ quan của thế giới, dù nó được làm bằng lưới gà.

**...**Pugh, dù thành thạo vật liệu, không dám bắt tay vào một loạt mới.

**...**Như chúng tôi đã nói ở đầu trang, cuộc sống của Werner Boy vẫn là một bí ẩn. Sau khi phát minh ra mặt mang tên ông, ông đã biến mất hoàn toàn sau khi rời khỏi đại học. Dù đã cố gắng, Hilberth không thể tìm thấy dấu vết của ông, và người ta thậm chí không biết ông được chôn ở đâu.

**...**Hãy quay lại toán học. Bài báo sau đây tương đối dễ đọc. Từ công thức 1 đến 8, bất kỳ học sinh trung học nào cũng có thể tạo ra những hình ảnh đẹp và kiểm tra xem các mặt cắt có khớp với hình 5 hay không.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 tháng 10 năm 1981) Série 1 - 269
GEOMETRIE. - Một biểu diễn giải tích của mặt Boy. Bài báo của Jean-Pierre Petit và Jérôme Souriau, được trình bày bởi André Lichnérowicz.

Người ta trình bày một biểu diễn giải tích của mặt Boy, cho phép vẽ mặt đó.

**1. GIỚI THIỆU. **

**...**Mặt được phát minh năm 1901 bởi nhà toán học Werner Boy, học trò của Hilberth, đã được biết đến rộng rãi trong giới toán học. Nó có thể xuất hiện như một bước trung tâm trong việc lật ngược mặt cầu ( [1] và [2] ).

**...**Năm 1979 (J.P.P) đã xây dựng một mô hình bằng dây kim loại, làm nổi bật vị trí mà các đường kinh tuyến của mặt nên chiếm. Một công việc khác thực hiện năm 1980 cùng với nghệ sĩ điêu khắc Max Sauze cho phép tái tạo một mô hình thứ hai, trong đó các đường cong nằm trong các mặt phẳng và dường như khá gần với các đường elip. Từ mô hình này, dường như có thể xây dựng một biểu diễn giải tích của một bề mặt có tính chất topo giống mặt Boy, và các kinh tuyến là các đường elip đi qua một cực duy nhất.

**2. LÀM THẾ NÀO TẠO RA MẶT BOY BẰNG CÁC ĐƯỜNG ELIP. **

**...**Đặt cực tại gốc tọa độ. Tại điểm này, mặt sẽ tiếp xúc với mặt phẳng (XOY). Nó sẽ có trục OZ làm trục đối xứng ba chiều (xem hình 1). Các đường kinh tuyến là các đường elip nằm trong các mặt phẳng Pm. Giả sử OX1 là giao tuyến của mặt phẳng Pm với mặt phẳng XOY. Gọi m là góc (OX, OX1). Trong mặt phẳng Pm, đặt một trục OZ1 vuông góc với OX1. Gọi a là góc (OZ, OZ1).

a5101

a5108

Hình 1 và Hình 2

**...**Tham số đầu tiên của biểu diễn giải tích này là góc m. Chúng ta sẽ xem góc a là một hàm của m (sẽ được xác định sau). Trong mặt phẳng Pm, chúng ta sẽ vẽ một đường elip tiếp xúc tại O với OX1 (xem hình 2). Chúng ta sẽ lấy các trục của đường elip song song với các phân giác của X1OZ1. Gọi A(m) và B(m) là giá trị của các trục của đường elip này. Đường elip Em sẽ được tạo ra bởi một tham số tự do thứ hai q .

**...**Tóm lại, chúng ta sẽ nhận được tọa độ X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) của điểm hiện tại trên mặt.

**...**Trong cách tiếp cận bán thực nghiệm này, các phép đo thực hiện bởi (J.S.) trên mô hình đã cho phép tiếp cận các hàm a(m), A(m) và B(m). Bề mặt sau đó được vẽ bằng máy tính "Apple-II" và chúng ta nhận được các mặt cắt tại Z = Cte, việc xem xét các mặt cắt này cho phép xác định tính chất topo giống với mặt Boy. Điều này chỉ có thể đạt được nhờ thử nghiệm số (J.S.) giúp loại bỏ các cặp điểm kỳ dị không mong muốn (sự xuất hiện của các cặp điểm cusp).

**...**Chúng tôi đã chọn: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**Trong hệ tọa độ X1 O Z1, tọa độ của tâm đường elip Em là: (4)

a5104