Biểu diễn giải tích của mặt Boy

f5101 Một biểu diễn giải tích của mặt Boy J.P. Petit và J. Souriau .

**...**Dưới đây là bản sao một bài báo đăng trên Tạp chí Báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, ký tên J.P. Petit và J. Souriau, xuất bản năm 1981.

**...**Công trình này có một câu chuyện riêng. Cho đến khi cuốn sách ảnh "Topologicon" của tôi ra đời vào năm 1985 tại nhà xuất bản Belin, trong loạt truyện "Những cuộc phiêu lưu của Anselme Lanturlu", thì các biểu diễn của mặt Boy trong các tài liệu chuyên môn vẫn còn rất hiếm hoi. Người ta chỉ tìm thấy vài bức ảnh mô hình được làm bằng xi măng hoặc lưới gà. Charles Pugh, thuộc khoa Toán học tại Đại học Berkeley, là chuyên gia hàng đầu thế giới về việc sử dụng lưới gà. Thậm chí chính ông đã nhận một giải thưởng lớn về tài chính khi chế tạo các mẫu mô hình mô tả quá trình lật ngược mặt cầu theo Bernard Morin, những mẫu này sau đó được số hóa bởi Nelson Max để chuyển thành một bộ phim, hiện đang phổ biến trong mọi phòng thí nghiệm Toán học trên thế giới.

**...**Nhưng tôi cảm thấy lưới gà vẫn là một chất liệu không cao quý, đặc biệt đối với những chủ đề khoa học tầm cỡ cao. Sau khi quen biết một nghệ sĩ điêu khắc tên là Max Sauze, tôi bắt đầu học kỹ thuật dùng dây đồng mềm nhưng cứng cáp, mà Max khéo léo hàn nối, cố gắng không làm nóng quá để tránh sinh ra ứng suất phụ trong vật liệu.

**...**Bạn tôi Jacques Boulier, còn được gọi là Vasselin, lúc đó là giáo viên tại Trường Mỹ thuật Aix-en-Provence. Một năm nọ, ông đề nghị tôi thay thế một giáo viên của ông đi nước ngoài, và tôi đã nhận lời, đảm nhiệm công việc bán thời gian cùng Sauze. Trong khi tôi sáng tạo các vật thể, Max thì hàn chúng lại. Các sinh viên của chúng tôi, tò mò quanh quẩn xung quanh, cố gắng bắt chước chúng tôi một cách tốt nhất. Năm đó, một khu vực của Trường Mỹ thuật Aix-en-Provence đã trở thành một xưởng sản xuất hàng loạt các mặt toán học.

**...**Nếu bạn muốn thử, điều này không quá phức tạp. Bạn cần một cuộn dây đồng có đường kính khoảng 1,5 mm (tối đa 2 mm), và một cặp kìm cắt. Với những công cụ này, bạn có thể mô phỏng hai họ đường cong tạo nên bất kỳ mặt nào.

**...**Vấn đề nằm ở việc tạo hình các vật thể một cách hợp lý. Để làm điều đó, tốt hơn hết là có thể trượt các điểm nối, nơi các "kinh tuyến" và "vĩ tuyến" giao nhau. Một giải pháp hiệu quả là buộc hai sợi dây kim loại lại với nhau bằng chỉ may. Việc buộc đủ chặt để giữ hình dạng, nhưng vẫn đủ trơn để cho phép biến dạng và điều chỉnh.

**...**Chỉ khi bạn cảm thấy vật thể đã đạt được độ chính xác toán học như mong muốn, bạn mới có thể giao nó cho người nào đó khéo léo dùng que hàn bạc, biết cách hàn mà không làm nóng các thanh kim loại — điều mà Max từng làm một cách tinh tế.

**...**Một ngày nọ, tôi mang theo một mẫu thử của mặt Boy, sau khi khám phá ra cách sắp xếp các kinh tuyến và vĩ tuyến. Dường như ta có thể tạo sao cho các kinh tuyến trông giống hệt như một họ đường elip.

**...**Max đã cẩn thận sao chép lại vật thể đó. Tôi liền đến gặp Souriau. Con trai ông (người vốn không có kiên nhẫn để hoàn thành bằng cấp vật lý) đang chơi với máy Apple II của cha mình. Tôi nói với cậu ta:

• Jérôme, cậu có muốn được đăng một bài báo toán học thuần túy dưới tên mình không?

• Ừ thì, sao không? Phải giết ai để làm điều đó?

• Không ai cả. Cậu thấy vật thể này chưa? Lấy thước đo, đo các đường elip này, rồi thử xây dựng một biểu diễn bán thực nghiệm của mặt này cho chúng tôi.

• Có thể thử xem, đưa đây...

**...**Hai ngày sau, công việc đã hoàn thành. Bài báo được chấp nhận nhanh chóng tại Tạp chí Báo cáo của Viện Hàn lâm Khoa học Paris và được xuất bản dưới hai tên: J.P. Petit và J. Souriau.

**...**Nhưng vì cha tên là Jean-Marie còn con là Jérôme, nên tất cả các nhà toán học đều tin rằng đây là công trình mà Souriau cha và tôi đã cùng nhau thực hiện.

**...**Việc vẽ mặt bằng máy tính, dùng một chương trình BASIC nhỏ gọn vài dòng, khiến rất nhiều nhà toán học ngạc nhiên, vì họ tưởng sẽ phải dùng thứ gì phức tạp hơn. Sự việc này có một hậu quả không mấy tốt đẹp. Nhà toán học Bernard Morin lúc đó đang hướng dẫn một nghiên cứu sinh tên là Apéry, con trai của Apéry cha, người đã viết ra định lý kỳ lạ rằng tổng các lập phương của các số nguyên là một số vô tỷ. Ngoài ra...

**...**Tôi không biết điều đó. Sự tiến bộ của chúng tôi khiến Morin lo lắng rất nhiều, đặc biệt khi tôi ngây thơ khẳng định rằng phương pháp này có thể mô tả được mặt bốn tai nổi tiếng mà ông đã làm nên danh tiếng — mặt mà Pugh đã dựng bằng lưới gà, sau đó Max số hóa, v.v.

Morin nhíu mày:

• Không, điều đó là không thể!

**...**Chúng ta sẽ bàn đến chuyện này sau. Tôi vẫn tin ngược lại. Nhưng câu nói đó giống như lời đáp trả nổi tiếng mà Archimède đã thốt ra trước một binh sĩ La Mã đang làm phiền ông trong lúc suy nghĩ — "Noli tangere circuleos meos!" (Hãy đừng chạm vào các vòng tròn của tôi!).

Ở đây, nó nghe như: "Đừng chạm vào các elip của tôi!"

**...**Sau này, Apéry đã tận dụng phát hiện của tôi — rằng có thể trang bị cho mặt Boy một hệ thống kinh tuyến elip — để xây dựng phương trình ẩn đầu tiên mô tả vật thể này:

f(x, y, z) = 0

**...**Morin tức giận khi thấy tôi xuất hiện như một người làm rối trong các công trình toán học của ông, nên đã buộc Apéry phải ghi rõ trong luận án rằng chính Sauze mới là người tìm ra ý tưởng về các elip. Max không phủ nhận, nhưng điều đó là sai sự thật. Bằng chứng nằm ở căn hầm nhà tôi: mẫu mô hình mà tôi mang đến cho Max để ông hoàn thiện.

**...**Cuối cùng, tất cả những điều này thật ra khá buồn cười. Câu chuyện này chỉ nhằm chứng minh rằng các nhà toán học không thông minh hơn các nhà vật lý.

**...**Người kỹ sư Polytechnique Colonna, người tiên phong trong lĩnh vực hình ảnh tổng hợp, đã sử dụng toàn bộ các phương trình của chúng tôi mà không ghi rõ nguồn gốc. Nhưng có một chi tiết thú vị: nếu bạn nhìn thấy hình ảnh mặt Boy trên màn hình, và đó là "của chúng tôi", thì chắc chắn sẽ xuất hiện ba nếp gấp nhỏ gần cực của nó — một lỗi điều chỉnh trong phương trình. Jérôme, con trai Souriau, đã làm vội vàng, và một lần hàn nhẹ cuối cùng gần cực lẽ ra cần thiết hơn. Điều này vẫn có thể thực hiện được, nếu ai đó muốn.

**...**Câu chuyện về mặt Boy chưa kết thúc. Để đầy đủ, ta cần nhắc đến một nhân vật: Carlo Bonomi, một tỷ phú người Ý. Tôi quen biết ông trong một chuyến thám hiểm vùng Tam giác Bermuda (nhưng đó là một câu chuyện khác). Chúng tôi đang lướt nhanh trên du thuyền của ông, sang trọng đến mức khiến người ta phải ngỡ ngàng, tìm kiếm một kim tự tháp chìm, được nhắc đến trong một cuốn sách của Charles Berlitz. Chúng tôi không tìm thấy kim tự tháp, và chỉ may mắn tránh được việc bị cá mập ăn thịt — những con cá mập rất nhiều ở khu vực này. Nếu bạn có bản đồ thế giới, nơi mà "Kim tự tháp Atlantis" được cho là tồn tại nằm ở tây nam một rạn san hô tên là Cay Sal Balk, cách Cuba 50 dặm về phía nam.

**...**Giữa hai lần lặn và hai bữa tối với trứng cá hồi, tôi đề nghị Bonomi tài trợ sản xuất hàng loạt mặt Boy. Ý tưởng này khiến ông thích thú, và rồi có kết quả. Nói một cách ngắn gọn, mặt Boy trang trí phòng Toán học tại Cung điện Khám phá ở Paris được tài trợ bởi Bonomi và chế tác bởi Sauze. Nhà tài phiệt định tổ chức một triển lãm bằng cách làm các vật thể bằng vàng nguyên khối. Nhưng sự việc không đi đến đâu. Bất ngờ vì ông im lặng quá lâu, tôi gọi điện đến văn phòng Milan của ông. Thật đáng tiếc, ông đã bị bắt vì liên quan đến vụ bê bối hội P2, và tình yêu với tô-pô của ông đã bị tổn thương một cách không thể phục hồi.

**...**Lớp phủ hai lớp của mặt Boy, hình ảnh của mặt phẳng xạ ảnh P², là một mặt cầu S² (xem "Topologicon"). Pugh đã dựng lớp phủ này bằng hai lớp lưới gà — một vật thể đáng kinh ngạc về mọi phương diện, dù tôi phải nói rằng cá nhân tôi vẫn thích dây đồng và cách biểu diễn theo kinh tuyến-vĩ tuyến hơn. Nhưng ngay cả trong toán học thuần túy:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Trước khi trình bày bài báo, hãy kể thêm một câu chuyện nhỏ. Charles Pugh đã chế tạo bảy mẫu bằng lưới gà, nhận được một giải thưởng lớn, mô tả các bước liên tiếp trong quá trình lật ngược mặt cầu — sẽ được đề cập khi tôi tìm được năm phút để đăng lên trang web — và những mẫu này từng được treo trần phòng ăn của khoa Toán học tại Đại học Berkeley.

**...**Do đó, các nhà toán học trên toàn thế giới đã hành hương đến chiêm ngưỡng chuỗi mô hình tuyệt vời này. Nhưng một đêm nọ, các mẫu bị trộm mất, và không ai biết chúng đã đi đâu — dù chúng hoàn toàn không thể bán được. Ai sẽ nhận một món đồ như vậy? Trừ khi một nhà sưu tập giàu có, vừa yêu nghệ thuật vừa mê toán học, đã tài trợ vụ việc để cất giữ chúng trong hầm an toàn, chỉ để thỏa mãn niềm vui được trở thành người duy nhất trên thế giới có thể chiêm ngưỡng kỳ quan thứ tám của nhân loại — dù nó được làm bằng lưới gà.

**...**Dù thành thạo kỹ thuật, Pugh cũng không đủ can đảm để làm lại một loạt mẫu mới.

**...**Như đã nói ở đầu trang web, cuộc đời của Werner Boy vẫn là một bí ẩn. Sau khi phát minh ra mặt mang tên ông, ông đã hoàn toàn biến mất khỏi thế giới thực sau khi rời khỏi trường đại học. Dù Hilberth đã tìm kiếm khắp nơi, nhưng không thể tìm thấy dấu vết của ông, thậm chí còn không biết ông được chôn cất ở đâu.

**...**Quay lại với toán học. Bài báo dưới đây tương đối dễ đọc. Từ công thức (1) đến (8), bất kỳ học sinh trung học tỉnh táo nào cũng có thể tạo ra những hình ảnh rất đẹp và kiểm tra xem các mặt cắt có khớp đúng với hình 5 hay không.

C.R. Acad. Sci. Paris, t. 293 (5 tháng 10 năm 1981) Série 1 - 269
HÌNH HỌC. - Một biểu diễn giải tích của mặt Boy. Bài báo của Jean-Pierre Petit và Jérôme Souriau, trình bày bởi André Lichnérowicz.

Chúng tôi giới thiệu một biểu diễn giải tích của mặt Boy, cho phép vẽ được mặt này.

1. GIỚI THIỆU.
**...**Mặt do nhà toán học Werner Boy, học trò của Hilberth, sáng tạo năm 1901, đã rất quen thuộc với các nhà toán học. Nó có thể đóng vai trò trung tâm trong quá trình lật ngược mặt cầu (xem [1] và [2]).

**...**Năm 1979 (J.P.P), tôi đã chế tạo một mẫu bằng dây kim loại, làm nổi bật vị trí mà các đường kinh tuyến của mặt phải chiếm giữ. Một công trình thứ hai thực hiện năm 1980 cùng nghệ sĩ điêu khắc Max Sauze cho phép tái tạo một mẫu thứ hai, trong đó các đường cong nằm trên các mặt phẳng và trông khá giống các elip. Từ mẫu này, có vẻ như có thể xây dựng một biểu diễn giải tích của một mặt có cấu trúc tô-pô giống mặt Boy, với các kinh tuyến là các elip đi qua một cực duy nhất.

2. CÁCH TẠO MẶT BOY BẰNG CÁC ELIP.

**...**Đặt cực tại gốc tọa độ. Tại điểm này, mặt sẽ tiếp xúc với mặt phẳng (XOY). Do đó, trục OZ sẽ là trục đối xứng bậc ba (xem hình 1). Các đường kinh tuyến là các elip nằm trong các mặt phẳng Pm. Gọi OX1 là giao tuyến của mặt phẳng Pm với mặt XOY. Gọi m là góc giữa (OX, OX1). Trong mặt phẳng Pm, đặt trục OZ1 vuông góc với OX1. Gọi a là góc giữa (OZ, OZ1).

Hình 1 và Hình 2

**...**Tham số đầu tiên trong biểu diễn giải tích này là góc m. Ta sẽ xem góc a như một hàm của m (sẽ được xác định sau). Trong mặt phẳng Pm, ta vẽ một elip tiếp xúc tại O với OX1 (xem hình 2). Ta chọn trục của elip song song với các đường phân giác của X1OZ1. Gọi A(m) và B(m) là độ dài hai trục của elip này. Elip Em được sinh ra bởi một tham số tự do q.

**...**Tóm lại, ta sẽ thu được tọa độ X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) của điểm trên mặt.

**...**Trong tiếp cận bán thực nghiệm này, các phép đo do (J.S.) thực hiện trên mẫu đã giúp ước lượng các hàm a(m), A(m) và B(m). Sau đó, mặt được vẽ bằng máy tính "Apple-II", và ta thu được các mặt cắt tại Z = hằng số. Việc xem xét các mặt cắt này cho phép xác định tính chất tô-pô giống với mặt Boy. Tuy nhiên, phải mất một quá trình thử nghiệm số học (J.S.) để loại bỏ các cặp kỳ dị giả tạo (sự xuất hiện của các cặp điểm cuspidaux).

**...**Chúng tôi đã chọn:
(1) A(m) = 10 + 1,41 sin(6m - π/3) + 1,98 sin(3m - π/6)
(2) B(m) = 10 + 1,41 sin(6m - π/3) - 1,98 sin(3m - π/6)
(3)

**...**Trong hệ tọa độ X1 O Z1, tọa độ tâm của elip Em là:
(4)

(5)

**...**Trong cùng hệ tọa độ này, tọa độ điểm trên elip là:
(6)

(7)

và tọa độ x, y, z được cho bởi:
(8)