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Choix de la matrice m.
... Un groupe G peut être comparé à une certaine surface. Il dépend d'un certain nombre de paramètres. Soit P cet espace des paramètres du groupe et p un point de cet espace. Le nombre de ces paramètres pi est la dimension du groupe.
(217)
Montré : l'élément neutre e (la matrice unité 1).
Nous pouvons donner un accroissement d p :
(218)
... Ensuite, on dérive la matrice g, qui est un élément du groupe. On obtient une matrice carrée dg qui n'appartient pas au groupe. On l'appelle le vecteur tangent au groupe. Ces vecteurs tangents forment ce qu'on appelle l'algèbre de Lie du groupe (qui n'est pas une algèbre, d'ailleurs).
Nous choisissons de dériver au voisinage de l'élément neutre :
(219)
et nous choisissons l'anti-action suivante :
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Remarque :
Pourquoi choisissons-nous le vecteur tangent au groupe en g = 1 ?
... Nous pourrions utiliser une forme plus générale, un vecteur tangent dg en tout point du groupe. Nous obtiendrions le même résultat, mais les calculs seraient bien plus pénibles.
La dimension du groupe est n. La matrice g dépend de n paramètres { pi }.
L'élément de l'algèbre de Lie dg(g=e) dépend du même nombre de paramètres { d pi }.
Le calcul de l'anti-action ci-dessus fournira l'application :
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Nous introduisons le même nombre de scalaires : { J i }
Nous appelons cet ensemble le moment J du groupe. J = { J i }
C'est un ensemble de n grandeurs, n scalaires. Parfois, nous pouvons le mettre sous forme de matrice (action de Poincaré sur son moment).
{ J i } est le vecteur cotangent { d p i } au vecteur tangent du groupe. La dualité donne :
(222)
À partir de cette conservation du produit scalaire, si nous connaissons l'application :
(223) { d p i } -----> { d p' i }
nous pouvons construire l'application duale :
(224) { J i } -----> { J 'i }
C'est l'action essentielle que nous recherchons, et Souriau l'appelle l'action coadjointe du groupe sur son espace des moments.
La meilleure façon d'illustrer ce concept est de donner un exemple :
Action coadjointe du groupe de Poincaré sur son espace des moments Jp.
Plus haut, nous avons présenté le groupe de Lorentz généralisé. En choisissant :
(225)
nous obtenons le groupe de Lorentz L dont l'élément L obéit à la définition axiomatique :
(226)
Le vecteur espace-temps est (227)
Avec c = 1, nous obtenons la forme quadratique élémentaire, la métrique de Minkowski :
(228)
La matrice inverse est (229)
Introduisons maintenant une translation espace-temps :
(230)
nous construisons l'élément gp du groupe de Poincaré Gp comme suit :
(231)
Exercice : montrer qu'il s'agit d'un groupe et calculer la matrice inverse :
(232)
L'élément de l'algèbre de Lie est (233)
et l'anti-action :
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Nous remarquons que
(235) G d L
est une matrice antisymétrique. Appelons-la :
(236)
d'où :
(237)
Soit :
(238)
à partir de là, nous pouvons construire l'anti-action :
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
ce qui nous donne l'application :
(240)
(240b) (240c)
est l'application recherchée :
(241)
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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Choice of the matrix m .
...A group G can be compared to a certain surface. It depends on certain number of parameters. Let P be this space of the parameters of the group and **p **a point of this space. The number of these parameters pi is the dimension of the group.
(217)
Shown : the neutral element **e **( the unity matrix **1 **).
We can give an increement d p :
(218)
...Then we differentiate the matrix g which is the element of the group. We get a square matrix** dg** which does not belong to the group. One calls it the "tangent vector to the group".These tangent vectors forms what one calls the "Lie-Algebra" of the group ( which not an algebra, by the way ).
We chose to differentiate at the vicinity of the neutral element :
(219)
and we choose the following anti-action :
(220) AAg(m) = g-1 x d**g(g=e) **x g
Remark :
Why do we choose the tangent vector to the group at g = 1 ?
...We could use a more general , a tangent vector d**g **at any point of the group. We would get the same result, but the calculation would be much more tedious.
The dimension of the group is n. The matrix g depends on n parameters** **{ pi }..
The element of the Lie Algebra d**g(g=e) depends on the same number of parameters { **d pi }.
The computation of the above anti-action will provide the mapping :
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
We introduce the same number of scalars : { J i }
We call this set the momentum **J **of the group. **J **= { J i }
It is a set of n quantities, n scalars. Sometimes we can put it into a matrix ( Poincaré's action on its momentum ).
{ J i } is the* cotangent vector *{ d p i } to the tangent vector of the group. The duality gives :
(222)
From this conservation of the scalar product, if we know the mapping :
(223) { d p i } -----> { d p' i }
we may build the dual mapping :
(224) { J i } -----> { J 'i }
This is the essential action we search, and Souriau calls it coadjoint action of the group on its momentum space.
The better way to illustrate this conceot is to give an example :
Coadjoint action of the Poincaré group on its momentum space Jp .
Above, we presented the generalized Lorentz group. Chosing :
(225)
we get the Lorentz group L whose element L obeys the axiomatic definition :
(226)
The space-time vector is (227)
With c = 1 we get the elementary quadratic form, the Minkowski metric :
(228)
The inverse matrix is (229)
Introduce now a space-time translation :
(230)
we build the element gp of the Poincaré group Gp as follows :
(231)
Exercise : show it forms a group an compute the inverse matrix :
(232)
The element of the Lie algebra is (233)
and the anti-action :
(234) dgp' = gp-1 x dgp x gp
We notice that
(235) G d L
is an antisymmetrical matrix. Call it :
(236)
whence :
(237)
Let :
(238)
from this, we can build the anti-action :
(239) dgp' = gp-1 x dgp x gp
which will give us the mapping :
(240)
(240b) (240c)
is the required mapping :
(241)