nhóm và hành động đối hợp động lượng của vật lý
| 6 |
|---|
Chúng ta sẽ không viết ra các thành phần của động lượng nhóm Bargmann. Một cách khái quát, hãy viết động lượng nhóm Bargmann như sau:
JB = { một đại lượng vô hướng m, cộng với các thành phần khác của động lượng }
Hành động đối hợp cho biết cách các thành phần khác nhau của động lượng biến đổi. Nhưng hành động đối hợp của nhóm Bargmann lên động lượng của nó bắt đầu từ mối quan hệ đơn giản:
(63) m' = m
Hành động đối hợp của nhóm Bargmann lên không gian động lượng của nó bắt đầu bằng việc bảo toàn khối lượng, do đó khối lượng xuất hiện với một vai trò thuần túy hình học.
Xây dựng hành động đối hợp của nhóm Poincaré lên không gian động lượng Jp** của nó.**
Nếu bạn đã hoàn toàn bối rối, hãy bỏ qua phần này. Điều đó là bình thường, và dần dần nó sẽ trở nên khó hơn theo từng trang. Đến thời điểm này, tôi cũng không còn rõ ai là đối tượng hướng đến phần tiếp theo. Có lẽ là các nhà vật lý lý thuyết hoặc các nhà toán học, nhưng chắc chắn không phải là thợ điện-thợ sắt. Tuy nhiên, một sinh viên trường đại học chuyên ngành hoặc sinh viên năm nhất ngành vật lý, nếu kiên trì theo dõi, vẫn có thể hiểu được. Đó chỉ là những ma trận.
Tất cả bắt đầu từ một nhóm các ma trận kích thước (4,4) tạo thành nhóm Lorentz, phần tử của nó là L.
Chúng được định nghĩa theo tiên đề từ một ma trận G:
(64)
theo điều kiện:
(65) tL G L = G
trong đó tL là ma trận chuyển vị của L.
Các ma trận L tạo thành một nhóm.
Chứng minh.
Phần tử đơn vị là L = 1:
Giả sử L1 và L2 là hai phần tử trong tập hợp. Hãy kiểm tra xem tích L1L2 có thuộc nhóm hay không. Nếu đúng thì:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Nhưng:
t( A B ) = t B t A
Do đó:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Tiếp theo, ta tính ma trận nghịch đảo của L. Từ định nghĩa tiên đề của phần tử L:
tL G L = G
Nhân hai vế về phía phải với L-1:
tL G L L-1 = G L-1
tL G = G L-1
Nhân hai vế về phía trái với G:
G tL G = G G L-1
G tL G = L-1
Do đó, ma trận nghịch đảo của L là:
L-1 = G tL G
Vậy:
(66)
vectơ không-thời gian. Ma trận G đến từ metric Minkowski, có thể viết lại (với c = 1) như sau:
(67)
Bài tập: chứng minh rằng ma trận nghịch đảo thỏa mãn:
(68)
Tiếp theo, ta giới thiệu một vectơ dịch chuyển không-thời gian:
(69)
Từ đó, ta tạo ra phần tử gp của nhóm Poincaré:
(70)
Bài tập: chứng minh rằng điều này tạo thành một nhóm và tính ma trận nghịch đảo:
(71)
Dưới đây là "vectơ tiếp tuyến của nhóm", phần tử của "Đại số-Lie" của nó:
(72)
Từ đó, ta sẽ tính hành động ngược:
(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Để thuận tiện tính toán, ta nhận thấy rằng:
(74) G d L
là một ma trận phản đối xứng. Gọi nó là:
(75)
do đó:
(76)
Đặt:
(77)
Từ các dữ liệu trên, ta sẽ xây dựng hành động ngược:
(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp
Sau khi thực hiện mọi phép tính, ta sẽ thu được ánh xạ:
(79)
Nếu bạn muốn bỏ qua phần tính toán ma trận đơn giản này, hãy chuyển đến phương trình (80), ở cuối trang.
(79a)
(79b)
từ đó suy ra các thành phần của hành động ngược:
(79c)
nhưng:
(79d)
do đó:
(79e)
nhưng GG = 1, nên:
(79f)
từ đó suy ra ánh xạ:
(79g)
Đây chính là hành động ngược cần tìm, ánh xạ:
(80)
