nhóm và hành động đối hợp động lượng của vật lý
| 8 |
|---|
(91)
Hành động đối hợp này có thể được viết dưới dạng ma trận.
Ma trận của nhóm Poincaré là:
(92)
Chuyển vị của nó là:
(93)
Xét ma trận:
(94)
Nghĩa là chúng ta sẽ biểu diễn động lượng
(95) Jp = { M , P }
dưới dạng ma trận và lập tích:
(96)
(97)
(98)
mà tôi có thể nhận diện với ma trận:
(99)
Do đó, Jp là động lượng của nhóm Poincaré, được biểu diễn dưới dạng ma trận. Và hành động đối hợp được viết là:
(100)
Làm bài tập, người đọc có thể kiểm tra dựa trên các tiên đề rằng đây thực sự là một hành động.
Động lượng của nhóm Poincaré có thể được khai triển như sau:
(101)
Ma trận này là phản đối xứng (điều này dẫn đến đường chéo chính gồm toàn số 0). M là ma trận:
(102)
Giải thích rõ hơn:
(103)
Thật sự là một ma trận phản đối xứng, giả thiết đã được đưa ra từ đầu, phụ thuộc vào sáu tham số:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Ba thành phần cuối ( fx , fy , fz) là các thành phần của một vectơ, vectơ chuyển dịch f:
(105)
Ba thành phần đầu tiên ( lx , ly , lz) là các thành phần độc lập của một ma trận phản đối xứng (3,3), gọi là quay l:
(106)
Do đó:
(107)
Vectơ P là quadri-vectơ xung lượng-Năng lượng:
(108)
Ta có thể khai triển động lượng của nhóm Poincaré dưới dạng tổng quát:
(109)
Ta kiểm tra được rằng đây thực sự là một đối tượng có mười thành phần (số lượng bằng số chiều của nhóm).
(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}