nhóm và hành động đối đồng của vật lý động lượng
| 9 |
|---|
Hạt có spin.
Nhóm Poincaré mô tả chuyển động tương đối của một vật điểm. Tương tự, nhóm Bargmann, biểu thức của nó sẽ được nêu ra sau đây, mô tả chuyển động phi tương đối của một vật điểm, mà người ta gọi là "khối điểm".
Vì vậy, ta thấy rằng kỹ thuật này, tính toán hành động đối đồng của nhóm lên không gian động lượng, đã làm nổi bật những yếu tố ẩn giấu, những thuộc tính của đối tượng: các thành phần của động lượng.
Điều đáng chú ý là cách tiếp cận này, do Souriau đề xuất, đã làm xuất hiện các đối tượng cốt lõi của vật lý như những đối tượng thuần túy hình học. Như vậy, ông đã thực hiện một công trình chưa từng có trước đây: hình học hóa vật lý.
Ngoài năng lượng và động lượng, các thành phần khác — "xoáy" và "đi qua" — khiến nhà vật lý khá bối rối. Vậy thì sao?
Biểu thức của các thành phần động lượng hiển nhiên phụ thuộc vào hệ tọa độ được chọn.
Cách đơn giản nhất có lẽ là quay lại trường hợp phi tương đối, nói cách khác là biểu thức của hành động đối đồng, như nó đã xuất hiện từ phân tích nhóm Bargmann.
(111)
Công thức bí ẩn. Nó dùng để làm gì? Hoạt động thế nào?
Trong khung trên, nhà vật lý sẽ nhận ra một số đối tượng quen thuộc:
(112)
chỉ là hai cách biểu diễn của vectơ vận tốc { vx , vy , vz }, một cái dưới dạng ma trận cột và một cái dưới dạng ma trận hàng. Tích của hai ma trận này là một vô hướng:
(113)
điều gì đó bắt đầu giống như năng lượng động.
m v là động lượng.
Nhà vật lý truyền thống, khi nói đến động lực học của một chất điểm, chỉ biết ba thứ:
- Khối lượng m
- Động lượng m v
- Năng lượng động 1/2 mv²
Đúng vậy, nhưng vận tốc so với cái gì?
Một nhóm cũng là một góc nhìn về các sự vật. Ta có thể coi rằng ta đang vận chuyển, bằng cách dùng nhóm, các đối tượng (như đã thấy với nhóm Euclid), so với một người quan sát được giả định là cố định, hoặc, nếu đối tượng là cố định, thì ta quan sát nó dưới một góc nhìn khác.
Nếu ta chọn cách nhìn này, tức là di chuyển, vận chuyển các đối tượng, trong trường hợp nhóm động lực học, những nhóm của vật lý (phân biệt với nhóm Euclid nơi thời gian không xuất hiện), ta phải nói thêm rằng ta kích hoạt các đối tượng, trao cho chúng vận tốc v và năng lượng E.
Nếu ta chọn quan điểm ngược lại: coi đối tượng là cố định và tự mình di chuyển, thì ta nên hiểu nhóm như thế nào?
Nhóm Euclid lúc đó có nghĩa là:
"Nhìn từ nơi khác và dưới một góc khác".
"Điểm khác" chính là vectơ dịch chuyển:
(114)
"Nhìn dưới một góc khác" là ma trận quay a, một phép quay trong không gian (mà ta có thể khai triển bằng các góc Euler, điều mà ta không làm ở đây).
Trong trường hợp nhóm động lực học, góc nhìn này, quan điểm về "cái sự vật" phải được làm phong phú thêm. Vẫn trong ngữ cảnh nhóm Bargmann, việc đưa vào vận tốc v có nghĩa là, ngoài việc quan sát khối điểm từ một nơi khác (vectơ dịch chuyển c) và dưới một góc khác (ma trận quay a), người quan sát cũng đang chuyển động với vận tốc v so với khối điểm được giả định là đứng yên.
Và để đầy đủ, để làm phức tạp thêm, người quan sát không tiến triển theo cùng một thời gian với hạt, tức là khối điểm đang quan sát. Người quan sát bị lệch thời gian so với nó một khoảng Δt. Nói cách khác: người quan sát quan sát từ một nơi khác, nhưng đó là một nơi không gian-thời gian khác, tương ứng với vectơ dịch chuyển không gian-thời gian:
(115)
Khi có được một "khoảng cách" như vậy, so với khối điểm này, điều tôi nhận thấy là gì? Thứ nhất: m' = m
Điều này không ảnh hưởng đến khối lượng của nó.
Tôi có thể đơn giản hóa cuộc sống bằng cách loại bỏ phép quay. Đã đủ khó để quan sát một khối điểm từ xa, nhìn từ một thời điểm khác, bị lệch, đang ngồi trên xe trượt patin chuyển động với vận tốc v. Liệu có thực sự cần thiết phải nghiêng cổ không?
Không. Hãy đặt a = 1.
Tuy nhiên, trong các tính toán thông thường, người ta thường bỏ qua chi tiết này. Hành động đối đồng, khi được đặc biệt hóa như vậy, trở thành:
(117)
"Xem xét" ở đây phải được hiểu theo nghĩa gốc của nó. Khi tôi xem xét một tình huống, bầu trời, một chiến trường, hay một bộ phim do máy bay gián điệp quay lại, thì tôi đang làm gì?
Một công chứng viên sẽ viết:
- Xét rằng hiện trạng tại hiện trường...
Hình ảnh tĩnh, tương ứng với nhóm Euclid. Công chứng viên quan sát các đối tượng ở khoảng cách c, vào cùng một thời điểm (Δt = 0), giả định là đứng yên ( v = 0). Trong các trường hợp cụ thể, có thể dưới một góc nhất định, "một góc nhất định".
Một vị tướng, đi dạo trong một máy bay trinh sát, là một dạng công chứng viên đang di chuyển ( v ≠ 0).
Nhưng một chỉ huy tham mưu, đang xem bộ phim do máy bay gián điệp hay "drone" quay lại, đang đối diện với một tình huống bị lệch về thời gian. Ông buộc phải tự nói với mình:
- Hãy xem xét mục tiêu, nhìn từ điểm này, đang rẽ nghiêng, với vận tốc này, và hơn hết, như nó xuất hiện cách đó hai giờ...
Mục tiêu không có vận tốc riêng biệt nào đặc biệt. Ta không thể coi nó là đứng yên, dù đó là "một cơ sở cố định". Ngay cả Trái Đất cũng chuyển động, Mặt Trời cũng vậy, thiên hà cũng vậy, v.v.