Toán học hình học diện tích tô pô
Làm thế nào để biến một mặt Cross Cap thành mặt Boy (phải hoặc trái, tùy chọn)
bằng cách đi qua mặt Steiner hình hoa hồng.
Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, Đại học Roma
../../Crosscap_Boy1.htm
27 tháng 9 - 25 tháng 10 năm 2003
Trang 2
Đây là một "mặt Cross Cap" (như bạn sẽ khám phá ra từ các hình ảnh thực tế ảo). Mặt này có hai điểm chóp, là đỉnh của một đường tự giao. Bạn có thể tạo ra nó bằng cách bóp một quả bóng bay bằng kẹp tóc. Nhưng bạn cũng có thể tạo ra các biểu diễn đa diện của nó. Biểu diễn dưới đây sẽ đặc biệt thu hút sự chú ý của chúng ta.
Trong bảng 4 là điều khó học nhất. Tôi thấy không thể nào ai đó hiểu rõ các đối tượng này chỉ bằng cách nhìn vào hình vẽ. Hãy tự làm mô hình. Nói một cách đơn giản, ta kéo điểm chóp C2 về phía "bên trong mặt" (mặc dù, giữa hai dấu ngoặc, điều này hoàn toàn vô nghĩa vì, như bạn đã nhận ra ngay lập tức, mặt Cross Cap là một mặt một phía: nó không có mặt trong và mặt ngoài). Khi tiếp tục kéo, mặt sẽ "tự xuyên qua chính nó", và tập hợp tự giao được hoàn thiện, làm tròn nhẹ một chút, thành một đường cong hình số 8. Như một hệ quả, một điểm ba lần T đã được tạo ra.
Mặt trở nên dễ hiểu hơn dưới dạng đa diện, và ở dưới đây, chúng tôi phóng to một số phần để cho thấy lý do tại sao chúng ta chuyển đổi đối tượng này thành mặt Steiner hình hoa hồng (xem mô phỏng thực tế ảo), dạng đa diện đơn giản nhất của nó là ghép bốn khối lập phương (ở đây chỉ thấy ba khối).
Bảng 5: bên trái là dạng đa diện, bên phải là dạng tròn. Mũi tên đi qua điểm mà chúng ta sẽ "nén lại". Ở phía dưới, bắt đầu của thao tác nén.
Bảng 6: thao tác nén được thực hiện và tạo ra một điểm kỳ dị B. Trên thực tế, do chúng ta nén từ cả hai phía (để tiết kiệm thời gian), hai điểm kỳ dị S1 và S1 được hình thành, sau đó là hai điểm chóp. Ở thời điểm này, nếu không có giấy cứng, kéo và băng dính, bạn sẽ gặp khó khăn.
Bảng 7: ở đây chúng ta chỉ đơn giản di chuyển các điểm chóp khác nhau. Nếu điểm C2 là "rõ ràng", bạn sẽ gặp khó khăn hơn khi xác định các điểm C3 và C4 là điểm chóp. Tuy nhiên, chúng nằm ở hai đầu của một đường tự giao. Ở phía trên điểm C3 chỉ đơn giản là thứ tôi gọi là "posicono", tức là một điểm mà độ cong dương tập trung (một điểm mà độ cong âm tập trung tôi gọi là "negacono"). Bằng cách biến dạng một chút đối tượng này, ta thu được dạng đa diện của mặt Steiner hình hoa hồng (được Steiner nghĩ ra tại Roma; xem minh họa thực tế ảo của ông).
Vậy là xong. Có nhiều loại mặt khác nhau tùy theo các quy tắc bạn đặt ra. Các mặt không tự giao được gọi là "nhúng" (của hình cầu hoặc hình xuyến trong R3). Khi chúng tự giao nhưng mặt tiếp tuyến thay đổi liên tục mà không suy biến, thì được gọi là nhúng (immersion). Ví dụ: chai Klein trong dạng biểu diễn cổ điển. Trong R3 không tồn tại biểu diễn nào của chai Klein dưới dạng nhúng: nó nhất định phải tự giao. Các nhúng có tập hợp tự giao không có điểm chóp. Các tập hợp này là các đường cong liên tục, nhưng có thể giao nhau tại các điểm kép hoặc ba lần. Nhận xét: hình cầu có thể được thực hiện dưới dạng nhúng (không phải nhúng), bằng cách tự giao nó. Thực tế, đây là cách để lật ngược nó (xem phương pháp của A. Phillips, 1967, với bước trung tâm là phủ kép của mặt Boy; và xem thêm B. Morin và J.P. Petit, 1979, trong đó họ lấy làm mô hình trung tâm mô hình "bốn tai" của Morin, mà dưới đây là biểu diễn đa diện do tôi nghĩ ra khoảng một thập kỷ trước).
Sơ đồ lắp ráp đối tượng này bằng giấy và kéo
Nếu mở rộng các quy tắc trò chơi bằng cách chấp nhận rằng các đối tượng này có thể có cả điểm chóp, ta sẽ thu được các tổng nhúng (summersion) (mặt Cross Cap, mặt Steiner hình hoa hồng). Tôi không biết liệu "tổng nhúng" có phải là từ chính xác hay không, nhưng vì tôi không tìm thấy bất kỳ nhà toán học nào giúp tôi làm rõ vấn đề này, tôi thấy thú vị khi tự nghĩ ra một từ tạm thời, ít nhất cho đến khi một chuyên gia hình học xuất hiện. Như vậy, mặt Cross Cap và mặt Steiner hình hoa hồng đều là các tổng nhúng của "mặt phẳng xạ ảnh".
Nói thật với các bạn, sau 25 năm hoạt động và những thất vọng trong lĩnh vực từ điện từ thủy động lực học, tôi bắt đầu công việc này vì tôi nghĩ nó xa nhất có thể khỏi bất kỳ ứng dụng quân sự nào. Nhưng, như người bạn cũ Mihn từng nhắc nhở tôi, thuật ngữ "tổng nhúng" có thể gây nhầm lẫn và khiến Hải quân nghĩ rằng tôi đang cố gắng che giấu những tiến bộ trong lĩnh vực động cơ tàu ngầm.
Quy tắc "tạo ra - giải tỏa" các cặp điểm chóp cho phép chuyển từ một tổng nhúng của một đối tượng sang một tổng nhúng khác, và đó chính là điều chúng ta vừa làm, chứng minh rằng mặt Cross Cap và mặt Steiner hình hoa hồng là hai tổng nhúng của cùng một đối tượng, được biết đến như mặt phẳng xạ ảnh. Đừng cố gắng hình dung một "mặt phẳng xạ ảnh". Đối tượng này chỉ có thể được hiểu thông qua các biểu diễn khác nhau. Còn từ "xạ ảnh", chẳng qua là một trong hàng ngàn từ do các nhà toán học nghĩ ra để làm rối những ai muốn thâm nhập vào vòng tròn khép kín của họ. Nhà xuất bản Zanichelli sẽ chẳng giúp ích gì cho bạn trong toán học.
Chúng ta còn phải xem cách chuyển sang mặt Boy, là một nhúng của mặt phẳng xạ ảnh
Tới mục lục "Biến đổi một mặt Cross Cap thành mặt Boy"
Tới mục mới Tới mục Hướng dẫn Tới Trang chính
Số lượt truy cập từ ngày 25 tháng 10 năm 2003:
Hình ảnh
