Toán học hình học mặt topologie
Làm thế nào để biến một mặt Cross Cap thành mặt Boy (bên phải hoặc bên trái, tuỳ chọn), đi qua mặt Steiner hình hoa hồng.
Tiếng Ý: Andrea Sambusetti, Đại học Roma
../../Crosscap_Boy1.htm
27 tháng 9 - 25 tháng 10 năm 2003
Trang 2
Đây là một "mặt Cross Cap" (như bạn sẽ thấy trong các hình ảnh thực tế ảo). Mặt này có hai điểm nhọn, là đỉnh của một đường tự giao. Bạn có thể tạo ra nó bằng cách bóp một quả bóng bay bằng kẹp tóc. Nhưng bạn cũng có thể tạo ra các biểu diễn đa diện của nó. Biểu diễn dưới đây sẽ đặc biệt thu hút sự chú ý của chúng ta.
Trong bảng 4, điều khó học nhất được trình bày. Tôi cho rằng không thể nào ai đó hiểu rõ những đối tượng này chỉ bằng cách nhìn hình ảnh. Hãy tự làm mô hình. Nói một cách đơn giản, ta kéo điểm nhọn C2 về phía "bên trong mặt" (tuy nhiên, giữa hai dấu ngoặc, điều này không có nghĩa gì cả vì, chắc chắn bạn đã nhận ra ngay, mặt Cross Cap là một mặt đơn hướng: nó không có mặt ngoài và mặt trong). Khi tiếp tục kéo, mặt sẽ "tự xuyên qua", và tập hợp tự giao được hoàn thiện, làm tròn một chút, thành một đường cong hình số 8. Như một chi tiết, một điểm ba lần giao T đã được tạo ra.
Mặt trở nên dễ hiểu hơn khi ở dạng đa diện, và ở dưới đây, chúng ta phóng to một số phần để cho thấy lý do tại sao ta chuyển đổi đối tượng này thành mặt Steiner hình hoa hồng (xem mô phỏng thực tế ảo), dạng đa diện đơn giản nhất của nó là ghép bốn khối lập phương (ở đây chỉ thấy ba khối).
Bảng 5: bên trái là dạng đa diện, bên phải là dạng tròn. Mũi tên đi qua điểm mà ta sắp "thắt" lại. Ở phía dưới, bắt đầu thao tác thắt.
Bảng 6: thao tác thắt được thực hiện và tạo ra một điểm kỳ dị B. Trên thực tế, vì ta thắt từ cả hai phía (để tiết kiệm thời gian), hai điểm kỳ dị S1 và S1 xuất hiện, sau đó là hai điểm nhọn. Ở thời điểm này, nếu không có giấy cứng, kéo và băng dính, bạn sẽ gặp khó khăn.
Bảng 7: ở đây ta chỉ đơn giản di chuyển các điểm nhọn khác nhau. Nếu điểm C2 "rõ ràng", bạn sẽ gặp khó khăn hơn khi nhận diện các điểm C3 và C4 là điểm nhọn. Tuy nhiên, chúng nằm ở hai đầu của một đường tự giao. Ở phía trên điểm C3 chỉ đơn giản là thứ tôi gọi là "posicono", tức là một điểm mà độ cong dương tập trung (tôi gọi điểm mà độ cong âm tập trung là "negacono"). Bằng cách biến dạng một chút đối tượng này, ta đạt được dạng đa diện của mặt Steiner hình hoa hồng (do Steiner nghĩ ra tại Roma; xem minh họa thực tế ảo của ông).
Vậy là xong trò chơi. Tùy theo quy tắc bạn đặt ra, sẽ có nhiều loại mặt khác nhau. Những mặt không tự giao được gọi là "nhúng" (của hình cầu hoặc hình xuyến trong R3). Khi chúng tự giao nhưng mặt tiếp tuyến thay đổi liên tục mà không suy biến, chúng được gọi là nhúng (immersion). Ví dụ: chai Klein trong dạng biểu diễn cổ điển. Trong R3 không tồn tại biểu diễn dạng nhúng của chai Klein: nó nhất định phải tự giao. Các nhúng có tập hợp tự giao không chứa điểm nhọn. Các tập hợp này là các đường cong liên tục, nhưng có thể giao nhau tại các điểm đôi hoặc ba. Nhận xét: hình cầu có thể được thực hiện dưới dạng nhúng (không phải nhúng), bằng cách tự giao nó. Thực tế, đây là cách để lật ngược nó (xem phương pháp của A. Phillips, 1967, với bước trung tâm là phủ kép của mặt Boy; xem thêm B. Morin và J.P. Petit, 1979, trong đó mô hình trung tâm là mô hình "bốn tai" của Morin, dưới đây là biểu diễn đa diện do tôi nghĩ ra khoảng một thập kỷ trước).
Kế hoạch lắp ráp đối tượng này bằng giấy và kéo
Nếu mở rộng quy tắc trò chơi bằng cách chấp nhận rằng các đối tượng này có thể có cả điểm nhọn, ta sẽ được các tổng nhúng (summersion) (mặt Cross Cap, mặt Steiner hình hoa hồng). Tôi không biết liệu từ "tổng nhúng" có đúng hay không, nhưng vì tôi không tìm thấy bất kỳ nhà toán học nào có thể giải thích rõ ràng cho tôi, tôi thấy thú vị khi tự nghĩ ra một từ tạm thời, ít nhất cho đến khi một chuyên gia hình học xuất hiện. Như vậy, mặt Cross Cap và mặt Steiner hình hoa hồng đều là các tổng nhúng của "mặt phẳng chiếu".
Nói thật với các bạn, sau 25 năm hoạt động và những thất vọng trong lĩnh vực từ thủy động lực học, tôi bắt đầu công việc này vì tôi cho rằng nó xa nhất có thể khỏi bất kỳ ứng dụng quân sự nào. Nhưng như người bạn cũ Mihn từng chỉ ra, từ "tổng nhúng" có thể gây nhầm lẫn và khiến Hải quân hiểu rằng qua các nghiên cứu này, tôi đang cố gắng che giấu những tiến bộ trong lĩnh vực động cơ tàu ngầm.
Quy tắc "tạo ra-gỡ bỏ" các cặp điểm nhọn cho phép chuyển từ một tổng nhúng của một đối tượng sang một tổng nhúng khác, và đó chính là điều chúng ta vừa làm, chứng minh rằng mặt Cross Cap và mặt Steiner hình hoa hồng là hai tổng nhúng của cùng một đối tượng, được gọi là mặt phẳng chiếu. Đừng cố hình dung một "mặt phẳng chiếu". Đối tượng này chỉ có thể được hiểu thông qua nhiều biểu diễn khác nhau. Còn từ "chiếu", thì chỉ là một trong hàng ngàn từ do các nhà toán học nghĩ ra để làm rối người muốn thâm nhập vào thế giới khép kín của họ. Nhà xuất bản Zanichelli sẽ chẳng giúp ích gì cho bạn trong toán học.
Chúng ta còn phải xem cách chuyển sang mặt Boy, vốn là một nhúng của mặt phẳng chiếu
Tới mục lục "Biến đổi một mặt Cross Cap thành mặt Boy"
Tới mục mới Tới mục hướng dẫn Tới trang chính
Số lượt truy cập từ ngày 25 tháng 10 năm 2003:
Hình ảnh
