Biến đổi Crosscap thành mặt Boy, qua mặt Romaine của Steiner
Làm thế nào để biến đổi một Crosscap thành mặt Boy (trái hoặc phải, tùy chọn) bằng cách đi qua mặt Romaine của Steiner.
27 tháng 9 - 25 tháng 10 năm 2003
Trang 2
Đây là một Crosscap (như bạn đã khám phá qua các hình ảnh thực tế ảo). Nó có hai điểm cuspidaux nằm ở hai đầu của một đường giao nhau tự thân. Bạn có thể tạo ra nó bằng cách bóp một quả bóng bằng dụng cụ uốn tóc. Nhưng bạn cũng có thể xây dựng các biểu diễn đa diện của nó. Biểu diễn ở dưới sẽ đặc biệt thu hút sự chú ý của chúng ta.
Trong bảng 4 là thời điểm khó hiểu nhất. Tôi nghĩ gần như không thể để một người bình thường hiểu được các hình này chỉ bằng cách nhìn sơ qua các bản vẽ. Hãy tự làm các mô hình này. Nói rõ hơn, ta kéo điểm cuspidaux C2 về phía "bên trong mặt" (điều này về mặt bản chất vô nghĩa, vì bạn chắc chắn đã nhận thấy ngay lập tức rằng Crosscap là một mặt đơn hướng. Khi kéo mạnh, mặt sẽ tự cắt nhau và tập hợp giao nhau tự thân sẽ hoàn thiện thành một đường cong dạng số 8. Trong quá trình này, một điểm ba T được hình thành.
Mặt trở nên dễ hiểu hơn dưới dạng đa diện, và ở dưới, chúng ta đã phóng to một số phần để chỉ ra lý do khiến ta muốn biến đổi vật thể này thành Mặt Romaine của Steiner (xem thực tế ảo), mà dạng đa diện đơn giản nhất là ghép bốn khối lập phương (ở đây ta chỉ thấy ba khối).
Bảng 5: bên trái là đa diện, bên phải là dạng tròn trịa. Mũi tên đi qua một đoạn mà ta sẽ "bóp". Ở dưới là phần đầu của quá trình bóp.
Bảng 6: quá trình bóp được thực hiện bằng cách tạo ra một điểm kỳ dị B. Thực tế, do ta bóp từ cả hai phía để tiết kiệm thời gian, nên hình thành hai điểm kỳ dị S1 và S1, rồi hai cặp điểm cuspidaux. Ở giai đoạn này, nếu không có giấy bìa cứng, kéo và băng dính, bạn sẽ gặp khó khăn.
Bảng 7: ta chỉ đơn giản di chuyển các điểm cuspidaux khác nhau. Nếu điểm C2 là "rõ ràng", bạn sẽ khó hơn một chút để nhận diện các điểm C3 và C4 như là các điểm cuspidaux. Tuy nhiên, chúng thực sự tồn tại ở đầu một đường giao nhau tự thân. Ở phía trên điểm C3 là thứ mà tôi gọi là "posicoin", một điểm tập trung độ cong dương (một điểm tập trung độ cong âm được gọi là "négacoin"). Khi biến dạng vật thể một chút, ta sẽ thu được một dạng đa diện của Mặt Romaine của Steiner (mặt bậc bốn do Steiner phát minh tại Rome. Xem trình bày thực tế ảo tại đây).
Vậy là xong. Có nhiều loại mặt khác nhau, tùy theo các quy tắc ta đặt ra. Những mặt không tự cắt nhau được gọi là các nhúng (embedding) (của mặt cầu, torus trong R3). Khi chúng tự cắt nhau nhưng tiếp tuyến thay đổi liên tục thì được gọi là nhúng (immersion). Ví dụ: chai Klein trong dạng biểu diễn cổ điển. Không tồn tại trong R3 một cách biểu diễn chai Klein dưới dạng nhúng. Nó buộc phải tự cắt nhau. Các nhúng có tập hợp giao nhau tự thân không chứa điểm cuspidaux. Những đường cong này liên tục nhưng có thể giao nhau tại các điểm kép hoặc ba. Lưu ý: mặt cầu có thể được biểu diễn dưới dạng nhúng bằng cách đơn giản làm nó tự cắt nhau. Chính nhờ cách này mà người ta có thể lật ngược mặt cầu (A. Phillips, 1967, với bước trung tâm là bản phủ hai lớp của mặt Boy; B. Morin và J.P. Petit, 1979, với mô hình trung tâm là mô hình bốn tai của Morin, dưới đây là biểu diễn đa diện do tôi sáng tạo cách đây khoảng một thập kỷ.
Giấy hướng dẫn lắp ráp vật thể này từ việc cắt dán
Nếu ta mở rộng quy tắc bằng cách giả sử các vật thể này có điểm cuspidaux, ta sẽ thu được các phóng chiếu (submersions) (Crosscap, Mặt Romaine của Steiner). Tôi không biết liệu đây có phải là từ chính xác hay không, nhưng vì tôi không tìm thấy bất kỳ nhà toán học nào có thể giúp tôi làm rõ, nên tôi thấy thú vị khi tự sáng tạo ra một từ tạm thời, cho đến khi một chuyên gia hình học xuất hiện. Như vậy, Crosscap và Mặt Romaine của Steiner có thể được xem là các phóng chiếu của "mặt phẳng dựa" (plan projectif).
Nói thật với bạn, sau những thất bại của tôi trong lĩnh vực MHD suốt 25 năm, tôi đã bắt đầu các nghiên cứu này vì tôi cho rằng chúng xa rời hoàn toàn mọi ứng dụng quân sự. Nhưng như người bạn già Mihn đã nhận xét, từ "phóng chiếu" có thể gây hiểu lầm và khiến Hải quân Quốc gia nghĩ rằng qua các nghiên cứu này, tôi đang cố gắng che giấu một bước đột phá nào đó về động cơ tàu ngầm.
Quy tắc "tạo ra - hủy bỏ" các cặp điểm cuspidaux cho phép chuyển từ một phóng chiếu của một vật thể sang một phóng chiếu khác, và chính điều này chúng ta vừa thực hiện bằng cách chứng minh rằng Crosscap và Mặt Romaine của Steiner là hai phóng chiếu của cùng một vật thể gọi là mặt phẳng dựa. Đừng cố gắng hình dung "mặt phẳng dựa" trông như thế nào. Vật thể này không thể được hiểu trực tiếp, mà chỉ qua các biểu diễn khác nhau. Còn từ "mặt phẳng dựa" thì chỉ là một trong hàng ngàn từ do các nhà toán học sáng tạo ra để làm rối những ai muốn chen chân vào thế giới khép kín của họ. Từ điển Larousse sẽ chẳng giúp ích gì cho bạn trong toán học.
Chúng ta hãy chuyển sang mặt Boy, là một nhúng của mặt phẳng dựa
Quay lại mục lục "Biến đổi Crosscap thành Boy"
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lần truy cập kể từ ngày 25 tháng 10 năm 2003:
Ảnh
