Biến đổi Crosscap thành mặt Boy, qua mặt Roman của Steiner
Làm thế nào để biến đổi một Crosscap thành mặt Boy (trái hoặc phải, tùy chọn) bằng cách đi qua mặt Roman của Steiner.
27 tháng 9 - 25 tháng 10 năm 2003
trang 2
Đây là một Crosscap (như bạn đã khám phá qua các hình ảnh thực tế ảo). Nó có hai điểm cuspidaux nằm ở hai đầu một đường giao nhau tự thân. Bạn có thể tạo ra nó bằng cách bóp méo một quả bóng bằng dụng cụ uốn tóc. Nhưng bạn cũng có thể tự xây dựng các biểu diễn đa diện của nó. Biểu diễn ở dưới sẽ đặc biệt thu hút sự chú ý của chúng ta.
Trong bản vẽ 4 là thời điểm khó hiểu nhất. Tôi nghĩ gần như không thể để một người bình thường nào hiểu được các hình này chỉ bằng cách nhìn qua tranh vẽ. Hãy tự làm các mô hình này. Nói rõ hơn, ta kéo điểm cuspidaux C2 về phía "bên trong mặt" (điều này về mặt ý nghĩa là vô nghĩa, bởi vì bạn đã nhận ra ngay rằng Crosscap là một mặt một phía. Khi cố gắng kéo, mặt sẽ tự xuyên qua chính nó, và tập hợp các điểm giao nhau tự thân sẽ hoàn thiện thành một đường cong hình số 8. Đồng thời, một điểm ba chiều T sẽ hình thành.
Mặt trở nên dễ hiểu hơn dưới dạng đa diện, và ở dưới, chúng ta đã phóng to một số phần để chỉ ra lý do tại sao ta cần biến đổi vật thể này thành mặt Roman của Steiner (xem thực tế ảo), dạng đa diện đơn giản nhất của nó là ghép bốn khối lập phương (ở đây ta chỉ thấy ba khối).
Bản vẽ 5: bên trái là dạng đa diện, bên phải là dạng "rondouillard". Mũi tên đi qua một đoạn mà ta sẽ "bóp lại". Ở dưới là phần đầu của quá trình bóp.
Bản vẽ 6: quá trình bóp được thực hiện bằng cách tạo ra một điểm kỳ dị B. Thực tế, vì ta bóp từ cả hai phía để tiết kiệm thời gian, nên hình thành hai điểm kỳ dị S1 và S1, rồi hai cặp điểm cuspidaux. Ở đây, nếu không có giấy cứng, kéo và băng dính, bạn sẽ gặp khó khăn.
Bản vẽ 7: ta chỉ đơn giản di chuyển các điểm cuspidaux khác nhau. Nếu điểm C2 là "rõ ràng", bạn sẽ khó hơn một chút để nhận diện điểm C3 và C4 là các điểm cuspidaux. Chúng thực sự hiện diện ở đầu một đường giao nhau tự thân. Ở phía trên điểm C3 chỉ đơn giản là thứ tôi gọi là "posicoin", một điểm tập trung độ cong dương (một điểm tập trung độ cong âm được gọi là "négacoin"). Khi uốn cong vật thể một chút, ta sẽ nhận được một dạng đa diện của mặt Roman của Steiner (mặt bậc bốn do Steiner phát minh tại Roma. Xem trình bày thực tế ảo tại đây).
Vậy là xong. Có nhiều loại mặt khác nhau tùy theo quy tắc ta đặt ra. Những mặt không tự giao nhau được gọi là các nhúng (embedding) (của mặt cầu, torus trong R3). Khi chúng tự giao nhau nhưng tiếp tuyến thay đổi liên tục thì được gọi là nhúng (immersion). Ví dụ: chai Klein trong dạng biểu diễn cổ điển. Không tồn tại trong R3 một biểu diễn dạng nhúng của chai Klein. Nó buộc phải tự giao nhau. Các nhúng có tập hợp giao nhau tự thân không chứa điểm cuspidaux. Những đường cong này liên tục nhưng có thể cắt nhau, hoặc có các điểm đôi, ba. Lưu ý: mặt cầu có thể được biểu diễn dưới dạng nhúng bằng cách làm nó tự giao nhau. Chính cách này đã giúp ta lật ngược mặt cầu (A. Phillips, 1967, với bước trung tâm là phủ hai lớp của mặt Boy; B. Morin và J.P. Petit, 1979, với mô hình trung tâm là mô hình bốn tai của Morin, dưới đây là biểu diễn đa diện do tôi tự nghĩ ra khoảng một thập kỷ trước.
Chỉ dẫn lắp ráp vật thể này bằng cách cắt dán
Nếu mở rộng quy tắc bằng cách giả sử các vật thể này có điểm cuspidaux, ta sẽ được các hạ nhúng (submersions) (Crosscap, mặt Roman của Steiner). Tôi không biết liệu đây có phải là từ chính xác hay không, nhưng vì tôi không tìm thấy bất kỳ nhà toán học nào có thể giúp tôi làm rõ, tôi thấy thú vị khi tự sáng tạo ra một từ tạm thời, cho đến khi một chuyên gia hình học xuất hiện. Như vậy, Crosscap và mặt Roman của Steiner đều là các hạ nhúng của "mặt phẳng dựa trên hình chiếu".
Nói thật với bạn, sau những thất bại của tôi trong lĩnh vực MHD suốt 25 năm, tôi đã bắt tay vào các nghiên cứu này vì chúng dường như xa lạ nhất với mọi ứng dụng quân sự. Nhưng như người bạn già Mihn từng nhận xét, từ "hạ nhúng" có thể gây hiểu lầm và khiến Hải quân Quốc gia nghĩ rằng qua các nghiên cứu này, tôi đang cố gắng che giấu một bước đột phá nào đó trong công nghệ đẩy tàu ngầm.
Quy tắc "tạo ra-phá hủy" các cặp điểm cuspidaux cho phép chuyển từ một hạ nhúng này sang một hạ nhúng khác, và điều này chính là điều chúng ta vừa thực hiện khi chứng minh rằng Crosscap và mặt Roman của Steiner là hai hạ nhúng của cùng một vật thể gọi là mặt phẳng dựa trên hình chiếu. Đừng cố gắng hình dung "mặt phẳng dựa trên hình chiếu" trông như thế nào. Vật thể này chỉ có thể được hiểu thông qua các biểu diễn khác nhau của nó. Còn từ "mặt phẳng dựa trên hình chiếu" chỉ là một trong hàng ngàn từ do các nhà toán học sáng tạo ra để làm rối người muốn bước vào thế giới khép kín của họ. Từ điển Larousse sẽ chẳng giúp ích gì cho bạn trong toán học.
Chúng ta giờ sẽ chuyển sang mặt Boy, là một nhúng của mặt phẳng dựa trên hình chiếu
Quay lại mục lục "Biến đổi Crosscap thành Boy"
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lượt truy cập từ ngày 25 tháng 10 năm 2003:
Hình ảnh
