Biến đổi mặt Crosscap thành mặt Boy, qua mặt Steiner Rôma
Làm thế nào để biến đổi một mặt Crosscap thành mặt Boy (trái hoặc phải, tùy chọn) bằng cách đi qua mặt Steiner Rôma.
27 tháng 9 năm 2003
Trang 4
Bây giờ ta sẽ trình bày mẫu dưới một góc nhìn khác:
Bảng 14: Ta lặp lại thao tác tương tự bằng cách tạo ra "tai thứ ba" của đường tự giao. Trong dạng đa diện, nó có hình dạng ba hình vuông chung đỉnh: điểm ba lớp T.
Bảng 15: Khi xoay vật thể, bạn sẽ thấy phiên bản đa diện của mặt Boy mà tôi đã giới thiệu và trình bày trong Topologicon (nơi có bản cắt giúp dựng mô hình).
Bảng cuối cùng: Tôi đã cố gắng minh họa mặt Steiner (bậc 4, trong khi mặt Boy bậc sáu) đang uốn éo và chuyển hóa thành mặt Boy.
Ta thấy rằng, khi nhìn dưới dạng "tròn trịa", ta cần phải quen thuộc mới hiểu được vật thể này. Mắt chúng ta rất khó chịu khi phải hiểu một vật thể mà trên cùng một đường nhìn, có hơn hai lớp chồng lên nhau. Do đó, vai trò của dạng đa diện rất quan trọng: nó giúp mọi người bình thường tiếp cận được những biến đổi được coi là tinh vi trong hình học, bởi vì mọi người phải tự mình xây dựng mô hình. Đồng thời, ta nhận thấy rằng tùy vào cặp điểm cuspidaux được chọn, ta sẽ thu được mặt Boy "phải" hoặc "trái" (những từ này hoàn toàn mang tính tùy ý). Mặt phẳng chiếu sáng được nhúng theo hai biểu diễn "đối xứng gương" với nhau. Ta thấy rằng có thể chuyển từ mặt Boy phải sang mặt Boy trái thông qua một mô hình "trung tâm" là mặt Steiner Rôma.
Thật đáng tiếc nếu những bản vẽ như vậy không được công bố trên Pour la Science hay La Recherche. Nhưng trong suốt 20 năm qua, tôi bị "cấm xuất bản" trên hai tạp chí này vì lý do "dị biệt về thuyết người ngoài hành tinh". Cảm ơn các ông Hervé This và Philippe Boulanger. Tôi không thể đếm được bao nhiêu bài viết kiểu này tôi đã gửi đến hai tạp chí này và đều bị từ chối một cách lịch sự. Cuối cùng, ta cũng quen với thân phận bị tước quyền công bố.
Nhân tiện, ở Pháp có một "giải Alembert" nhằm trao thưởng cho các tác giả sách phổ biến toán học. Tôi được một thành viên trong ban xét giải kể lại câu chuyện (vì giải thưởng cũng có một khoản tiền nhỏ). Cuộc đối thoại:
-
Nhưng cuối cùng, sao ta không trao giải cho Petit? Ông ấy đã làm ra những tác phẩm nổi bật như Géométricon, Trou Noir và Topologicon.
-
Đúng vậy, nhưng ông ấy không chỉ làm những cuốn sách đó.
-
Ông ám chỉ điều gì?
-
Ông ấy còn viết cuốn Mur du Silence.
-
À, nếu thế thì...
Đúng vậy, Mur du Silence, xuất bản năm 1983, là một cuốn sách dành riêng cho MHD. Và như mọi người đều biết, khoa học gây tranh cãi này có đặc tính (hoặc trò đùa) là cho phép những chiếc đĩa bay di chuyển với vận tốc siêu âm mà không tạo ra tiếng nổ.
Che giấu khoa học này đi, tôi không thể nhìn thấy nó
Tôi còn giữ trong kho một phiên bản tuyệt đẹp của "lật ngược khối lập phương", với một mô hình trung tâm vô cùng đẹp đẽ, không phải là phiên bản đa diện của biến thể Morin. Tất cả đều do tôi tự làm. Một ngày nào đó...
22 tháng 10 năm 2003: Những trang này không thu hút nhiều người xem, nếu tính theo số liệu từ bộ đếm. Tôi đã trình bày một buổi hội thảo tại CMI (Trung tâm Toán học và Tin học Château-Gombert-Marseille) vào ngày thứ Hai, 13 tháng 10 năm 2003, theo lời mời của Trotman. Nhân dịp đó, tôi đã trưng bày một bộ sưu tập khoảng ba mươi mô hình bằng giấy cứng, mà bạn sẽ sớm được xem trước, vì chúng đã được Christophe Tardy chụp ảnh.
Khi trình bày một buổi hội thảo, không khí sẽ hình thành. Trong bức ảnh tiếp theo, một nhà hình học đang thể hiện sự băn khoăn.
Phía sau là một phần các mô hình được trưng bày. Ở một thời điểm, tôi đã đặt câu hỏi:
- Ai trong số các bạn đã từng thấy mặt Steiner Rôma? Vui lòng giơ tay.
Không ai từng thấy. Vì vậy, tôi cho rằng cần thiết phải giới thiệu vật thể này, dưới dạng ảo, trên chiếc máy tính xách tay tôi mang theo, một vật thể được thực hiện với sự hỗ trợ của Christophe Tardy, kỹ sư, và Frédéric Descamp, Viện Laue Langevin Grenoble (ILL). Rõ ràng, phần trình bày này khiến khán giả bối rối, vì họ ít khi thấy các mặt toán học xoay vòng tùy ý.
Hai tấm bảng bằng giấy cứng, hiện rõ ở phía trước, đã giúp trình bày các mô hình theo thứ tự hợp lý. Các mô hình "xanh và vàng" minh họa, dưới dạng đa diện, công cụ thiết yếu để tạo ra và hủy bỏ một cặp điểm cuspidaux. Vật thể trắng xa nhất là phiên bản đa diện của Cross Cap, ban đầu biến đổi thành phiên bản đa diện của mặt Steiner Rôma, cách một mét, rồi tùy ý chuyển thành mặt Boy "phải" hoặc "trái".
Phân tích các mô hình đã làm nảy sinh nhiều nhận xét từ khán giả. Một nhà hình học hỏi:
- Nếu theo thứ tự mô hình này, ta có thể chuyển từ Cross Cap sang Boy, thì làm ngược lại, ta có thể biến đổi một Boy thành Cross Cap không?
Tôi trả lời có. Táo bạo hơn, người đối thoại tiếp tục:
- Nếu dừng lại ở giai đoạn mặt Steiner Rôma, ta có thể quay trở lại một mặt Boy đối xứng gương.
Tôi đồng ý thêm một lần nữa. Nhưng tiếc thay, không ai tình nguyện giải thích về thế giới kỳ lạ này, nơi ta trang bị các nhúng mặt kín với các điểm cuspidaux, được tạo ra hoặc triệt tiêu từng cặp, toàn bộ tạo thành một dạng mở rộng của thế giới nhúng. Tôi cho rằng từ "submersions" (nhúng ngược) sẽ phù hợp hơn. Nếu có độc giả tìm thấy thông tin làm rõ, tôi sẽ rất hoan nghênh.
Độ cong tập trung tại một điểm cuspidaux
Ta sẽ tính toán bằng cách cộng các góc đỉnh và so sánh tổng này với tổng Euclid: 2π.
Ở trên và bên trái, ta minh họa một trong nhiều biểu diễn đa diện của điểm cuspidaux. Việc "tháo rời" vật thể (bên phải) dẫn đến tổng vượt quá tổng Euclid 2π một lượng 2α. Từ đó suy ra độ cong góc tập trung xung quanh điểm C là -2α. Nếu góc α bằng π/2 thì độ cong âm sẽ là c (hình ở dưới và bên trái). Thực tế, độ cong tập trung tại một điểm cuspidaux có thể nhận vô số giá trị. Ở dưới và bên phải, ta tăng tổng góc và độ cong lúc này < 2α. Ta tăng độ cong âm.
Ngược lại, ta có thể đạt được một tình huống khá bất ngờ: làm sao để độ cong (góc) tập trung tại C trở thành... bằng không:
Bây giờ ta bắt đầu từ một biểu diễn đa diện của Crosscap với hai điểm cuspidaux, mỗi điểm có độ cong âm bằng -π:
Có tám "posicoins" tương ứng với giá trị +π/2. Thêm bốn "posicoins" khác có độ cong +π/4 và bốn "négacoins" có độ cong -π/4.
Cộng thêm hai điểm cuspidaux có độ cong -π.
Tổng cộng: 2π
Chia tổng độ cong này cho 2π, ta thu được đặc trưng Euler-Poincaré của mọi biểu diễn của mặt phẳng chiếu sáng (như mặt Boy).
Trong buổi thuyết trình, tôi đã đề cập đến nghệ thuật và cách thức hoán đổi hai điểm cuspidaux của một Cross Cap, bằng cách sử dụng phép lật ngược hình cầu. Tôi không nhớ có đăng điều này ở đâu trên trang web của mình. Chỗ này rối như tơ vò. Tôi sẽ phải tìm lại, nếu không tôi sẽ đăng ở đâu đó. Thật thú vị. Dù sao, phần trình bày này không được một trong những người tham dự ưa thích trong buổi hội thảo.
- Tôi không hiểu tại sao Petit lại dùng đủ thứ đồ đạc phức tạp như vậy để chứng minh sự đối xứng giữa hai điểm cuspidaux của một Cross Cap. Có cách đơn giản hơn nhiều.
Và ông ấy vẽ lên bảng một hình cầu bị ép dẹt bởi hai thanh, được nối với nhau, thực sự tạo thành một tập hợp tự giao dưới dạng đoạn thẳng có hai điểm cuspidaux ở hai đầu, giống như Cross Cap. Thật tiếc, và người đó nhận ra điều đó, thì đây không phải là một Cross Cap.
- Chao ôi, vậy thì đó là cái gì? Một người hỏi.
Đơn giản là một hình cầu, có thêm hai điểm cuspidaux. Nếu ta làm hai điểm này trùng nhau, ta sẽ được một đường tự giao trở thành một đường tròn đơn thuần. Và ta thu được một nhúng hình cầu ở dưới và bên trái (cắt ngang), chỉ cần biến đổi nó thành nhúng chìm. Ta có thể chuyển sang biểu diễn đa diện của bề mặt này:
Nó có hai mặt, và độ cong là 2π.
Vì vậy, ta có thể vui chơi khá nhiều với những "nhúng ngược" này. Hãy lấy một nhúng của hình xuyến bằng cách xoay hình "vô hạn" hay hình "tám" quanh một trục.
Kỹ thuật hợp nhất các điểm cuspidaux sẽ giúp ta nhanh chóng đạt được nhúng chuẩn của hình xuyến, như minh họa trong các hình tiếp theo.
Nhưng đôi khi, mọi thứ không dễ dàng và rõ ràng như vậy. Ví dụ, tôi lấy một hình cầu, ép giữa hai đoạn thẳng, lần này có độ dài nhỏ hơn đường kính. Ta vẫn thu được hai điểm cuspidaux.
Vì ta có thể vẽ một dải Möbius bên trong bề mặt này, nên nó là bề mặt một mặt. Ta đã minh họa biểu diễn đa diện của nó, giúp tính toán độ cong toàn phần. Ta thu được kết quả bằng không. Nếu tôi không nhầm, thì đây chính là một chai Klein. Thông thường, ta chỉ biết đến nhúng phổ biến nhất, nơi đường tự giao là một đường tròn đơn thuần. Nhưng còn những nhúng khác, như hình này. Tôi thú nhận rằng tôi vẫn chưa tìm ra cách biến đổi vật thể trên thành một nhúng của chai Klein. Tôi cũng không biết liệu các nhúng khác nhau có thuộc cùng một nhóm đồng dạng hay không (hình cầu chỉ có một nhóm). Trước mắt, tôi nghĩ là không, vì hình xuyến có thể được nhúng theo bốn cách khác nhau, không thể nối với nhau bằng một đồng dạng trơn. Trong khi chờ đợi, tôi đã vui chơi bằng cách tạo thêm hai điểm cuspidaux và thu được hai Cross Cap nối với nhau bằng một ống. Khi cắt chúng ra, ta thu được đặc trưng Euler-Poincaré bằng không.
Bề mặt "kỳ lạ" này hẳn có thể biến đổi thành một trong các nhúng của chai Klein. Nhưng nhúng nào? Dù sao, đây là một nhúng thu được bằng cách xoay hình "tám" quanh một trục và thêm một nửa vòng quay:
Quay lại mục lục "Biến đổi một Cross Cap thành Boy"
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lượt truy cập từ ngày 6 tháng 10 năm 2003: