Biến đổi mặt Crosscap thành mặt Boy, qua mặt Steiner Rôma
Làm thế nào để biến đổi một mặt Crosscap thành mặt Boy (trái hoặc phải, tuỳ chọn) bằng cách đi qua mặt Steiner Rôma.
27 tháng 9 năm 2003
Trang 4
Bây giờ ta sẽ trình bày mô hình dưới một góc nhìn khác:
Bảng 14: Ta lặp lại thao tác tương tự bằng cách tạo ra "tai thứ ba" của đường giao nhau tự thân. Trong dạng đa diện, nó có hình dạng ba hình vuông chung một đỉnh: điểm ba lớp T.
Bảng 15: Khi xoay vật thể, bạn sẽ thấy dạng đa diện của mặt Boy mà tôi đã giới thiệu và trình bày trong Topologicon (nơi có bản cắt giúp bạn tự xây dựng nó).
Bảng cuối cùng: Tôi đã cố gắng minh họa mặt Steiner (bậc bốn, trong khi mặt Boy bậc sáu) đang uốn éo và chuyển hóa thành mặt Boy.
Ta thấy rằng, khi quan sát dưới dạng "tròn trịa", cần phải có kinh nghiệm rất lớn mới hiểu được vật thể này. Mắt chúng ta rất khó chịu khi phải hiểu một vật thể mà trên cùng một đường nhìn, có hơn hai lớp chồng lên nhau. Do đó, vai trò của dạng đa diện rất quan trọng: nó giúp người bình thường tiếp cận những biến đổi được coi là phức tạp trong hình học, bởi vì mọi người phải tự tay xây dựng mô hình. Đồng thời, ta nhận thấy rằng tùy theo cặp điểm cuspidaux (điểm nhọn) được chọn, ta sẽ thu được mặt Boy "phải" hoặc "trái" (những từ này hoàn toàn mang tính tùy tiện). Mặt phẳng chiếu (projective plane) được nhúng theo hai hình thức "đối xứng gương" (énantiomorphes). Ta thấy rằng có thể chuyển từ mặt Boy phải sang mặt Boy trái thông qua một mô hình "trung tâm" là mặt Steiner Rôma.
Thật đáng tiếc nếu những bản vẽ như thế này không được công bố trên các tạp chí Pour la Science hay La Recherche. Nhưng suốt hai mươi năm qua, tôi bị "cấm xuất bản" trên các tạp chí này vì lý do "đi lệch chủ nghĩa" liên quan đến UFO. Cảm ơn các ông Hervé This và Philippe Boulanger. Tôi không còn nhớ nổi đã gửi bao nhiêu bài kiểu này đến các tạp chí này và đều bị từ chối một cách lịch sự. Cuối cùng, ta cũng quen với thân phận người bị tước quyền công bố.
Nhân tiện, ở Pháp có một "giải thưởng Alembert" nhằm trao cho các tác giả sách phổ biến toán học. Tôi được một thành viên ban xét giải kể lại câu chuyện (vì giải thưởng cũng có một khoản tiền nhỏ). Cuộc đối thoại:
-
Nhưng tại sao không trao giải cho Petit? Ông ấy đã viết những tác phẩm nổi bật như Géométricon, Trou Noir và Topologicon.
-
Đúng vậy, nhưng ông ấy không chỉ viết những cuốn đó.
-
Ông nói đến điều gì?
-
Ông ấy còn viết cuốn Mur du Silence.
-
À, nếu vậy thì...
Đúng vậy, Mur du Silence, xuất bản năm 1983, là một cuốn sách dành riêng cho MHD. Và như mọi người đều biết, khoa học gây tranh cãi này có đặc tính (hoặc trò đùa) cho phép các đĩa bay di chuyển với tốc độ siêu thanh mà không tạo ra tiếng nổ.
Che giấu khoa học này đi, tôi không thể nhìn thấy nó
Tôi còn giữ trong kho một phiên bản tuyệt đẹp của "lật ngược khối lập phương", với một mô hình trung tâm vô cùng đẹp đẽ, không phải là dạng đa diện của biến thể Morin. Tất cả đều do tôi tự tạo. Một ngày nào đó...
22 tháng 10 năm 2003: Những trang này không có ai đến xem, nếu tính theo số liệu đếm lượt truy cập. Tôi đã trình bày một buổi hội thảo ngày thứ Hai, ngày 13 tháng 10 năm 2003 tại CMI (Trung tâm Toán học và Tin học Château-Gombert-Marseille) theo lời mời của Trotman. Nhân dịp đó, tôi đã trưng bày một bộ sưu tập khoảng ba mươi mô hình bằng giấy cứng, mà bạn sẽ sớm được xem trước, vì chúng đã được Christophe Tardy chụp ảnh.
Khi thuyết trình một buổi hội thảo, không khí sẽ hình thành. Trong bức ảnh tiếp theo, một nhà hình học đang thể hiện sự băn khoăn.
Phía sau là một phần các mô hình được trưng bày. Ở một thời điểm, tôi đặt câu hỏi:
- Ai trong số các bạn đã từng thấy mặt Steiner Rôma? Vui lòng giơ tay.
Không ai từng thấy. Vì vậy, tôi cho rằng cần thiết phải trình bày vật thể này dưới dạng ảo, trên máy tính xách tay mà tôi mang theo, một sản phẩm được thực hiện với sự hỗ trợ của kỹ sư Christophe Tardy và Frédéric Descamp từ Viện Laue Langevin Grenoble (ILL). Rõ ràng, cách trình bày này khiến khán giả bối rối, vì họ không quen thấy các mặt toán học quay cuồng tự do.
Hai tấm bảng bằng giấy cứng, hiện rõ ở phía trước, đã giúp trình bày các mô hình theo thứ tự hợp lý. Các mô hình "xanh và vàng" minh họa, dưới dạng đa diện, công cụ thiết yếu để tạo ra và hủy bỏ một cặp điểm cuspidaux. Vật thể trắng xa nhất là dạng đa diện của mặt Cross Cap, trước tiên biến đổi thành dạng đa diện của mặt Steiner Rôma, cách đó một mét, rồi tùy ý chuyển thành mặt Boy "phải" hoặc "trái".
Phân tích các mô hình đã dẫn đến nhiều nhận xét từ khán giả. Một nhà hình học hỏi:
- Nếu theo thứ tự mô hình này, ta có thể chuyển từ Cross Cap sang Boy, thì ngược lại, ta có thể biến đổi một mặt Boy thành Cross Cap không?
Tôi trả lời khẳng định. Người đối thoại tự tin hơn hỏi tiếp:
- Nếu dừng lại ở giai đoạn mặt Steiner Rôma, ta có thể quay lại để tạo ra một mặt Boy đối xứng gương không?
Tôi lại đồng ý thêm một lần nữa. Nhưng đáng tiếc, không ai trong khán phòng lên tiếng giải thích về thế giới kỳ lạ này, nơi ta trang bị các nhúng của các mặt kín với các điểm cuspidaux, được tạo ra hoặc triệt tiêu từng cặp, toàn bộ tạo thành một dạng mở rộng của thế giới các nhúng. Tôi cho rằng từ "submersions" (nhúng ngầm) sẽ phù hợp hơn. Nếu một độc giả tìm được thông tin giải thích, tôi rất hoan nghênh.
Độ cong tập trung tại một điểm cuspidaux
Ta sẽ tính toán bằng cách cộng các góc tại đỉnh và so sánh tổng này với tổng Euclid: 2π.
Ở trên bên trái, ta minh họa một trong nhiều dạng đa diện của điểm cuspidaux. Việc "tháo rời" vật thể (bên phải) dẫn đến tổng góc vượt quá tổng Euclid 2π một lượng là 2α. Từ đó suy ra độ cong góc tập trung xung quanh điểm C là -2α. Nếu góc α bằng π/2 thì độ cong âm sẽ là c (hình ở dưới bên trái). Thực tế, độ cong tập trung tại một điểm cuspidaux có thể nhận vô số giá trị khác nhau. Ở dưới bên phải, ta làm tăng tổng góc và độ cong lúc này sẽ < 2α. Ta làm tăng độ cong âm hơn nữa.
Ngược lại, ta có thể đạt được một tình huống khá bất ngờ: làm sao để độ cong (góc) tập trung tại C trở thành... bằng không:
Bây giờ ta bắt đầu từ một dạng đa diện của Crosscap có hai điểm cuspidaux, mỗi điểm có độ cong âm bằng -π:
Có tám "posicoins" tương ứng với giá trị +π/2. Thêm bốn "posicoins" khác với độ cong +π/4 và bốn "négacoins" với độ cong -π/4.
Cộng thêm hai điểm cuspidaux với độ cong -π.
Tổng cộng: 2π
Chia độ cong tổng này cho 2π, ta thu được đặc trưng Euler-Poincaré của mọi dạng biểu diễn mặt phẳng chiếu (như mặt Boy).
Trong buổi thuyết trình, tôi đã đề cập đến nghệ thuật và cách thức hoán đổi hai điểm cuspidaux trên một Cross Cap bằng cách sử dụng phép lật ngược mặt cầu. Tôi không nhớ có đăng điều này ở đâu trên trang web của mình. Trang web của tôi rối như tơ vò. Tôi sẽ phải tìm lại, nếu không sẽ đăng ở đâu đó. Thật thú vị. Dù sao, màn trình diễn này không được một trong những người tham gia hội thảo ưa thích.
- Tôi không hiểu tại sao Petit lại dùng một bộ công cụ phức tạp như vậy để chứng minh sự đối xứng giữa hai điểm cuspidaux trên một Cross Cap. Có cách đơn giản hơn nhiều.
Và ông ấy vẽ lên bảng một hình cầu bị ép dẹt bởi hai thanh, được nối với nhau, tạo thành một tập hợp giao nhau tự thân dưới dạng đoạn thẳng có hai đầu là hai điểm cuspidaux, giống như trên Cross Cap. Thật đáng tiếc, và người đó nhận ra điều đó, thì đó không phải là một Cross Cap.
- Thật vậy, vậy thì đó là cái gì? Một người hỏi.
Đơn giản là một quả cầu, có thêm hai điểm cuspidaux. Nếu ta làm hai điểm đó trùng nhau, ta sẽ có một đường giao nhau tự thân trở thành một đường tròn đơn giản. Và ta thu được ở dưới bên trái (cắt ngang) một nhúng của mặt cầu, chỉ cần biến nó thành nhúng chìm (embedding). Ta còn có thể chuyển sang dạng đa diện của bề mặt này:
Bề mặt này có hai mặt, độ cong là 2π.
Vì vậy, ta có thể vui chơi khá nhiều với những "nhúng ngầm" này. Hãy lấy một nhúng của hình xuyến bằng cách quay hình "vô cực" hay hình "tám" quanh một trục.
Kỹ thuật hợp nhất các điểm cuspidaux sẽ giúp ta nhanh chóng đạt được nhúng chuẩn của hình xuyến, như minh họa trong các hình tiếp theo.
Nhưng đôi khi, mọi thứ không dễ dàng và rõ ràng như vậy. Ví dụ, ta lấy một quả cầu bị ép giữa hai đoạn thẳng, lần này có độ dài nhỏ hơn đường kính. Ta vẫn thu được hai điểm cuspidaux.
Vì ta có thể vẽ một dải Möbius bên trong bề mặt này, nên nó là bề mặt một mặt. Ta đã minh họa dạng đa diện của nó, giúp tính toán độ cong tổng. Ta tìm được kết quả bằng không. Nếu tôi không nhầm, thì đây chính là một chai Klein. Thông thường, ta chỉ biết dạng nhúng phổ biến nhất, nơi đường giao nhau tự thân là một đường tròn đơn giản. Nhưng còn những dạng khác, như hình này. Tôi thú nhận rằng tôi vẫn chưa tìm ra cách biến đổi vật thể trên thành một nhúng của chai Klein. Tôi cũng không biết liệu các dạng nhúng khác nhau này có thuộc cùng một nhóm đồng luân (homotopy) hay không (mặt cầu chỉ có một nhóm như vậy). Trước mắt, tôi nghĩ là không, vì hình xuyến có thể được nhúng theo bốn cách khác nhau, không thể nối với nhau bằng một đồng luân trơn. Trong lúc chờ đợi, tôi đã vui vẻ biến đổi bề mặt này bằng cách tạo thêm hai điểm cuspidaux, và thu được hai mặt Cross Cap nối với nhau bằng một ống. Khi cắt chúng ra, ta thu được đặc trưng Euler-Poincaré bằng không.
Bề mặt "kỳ lạ" này hẳn có thể biến đổi thành một trong các dạng nhúng của chai Klein. Nhưng dạng nào? Dù sao, đây là một dạng thu được bằng cách quay hình "tám" quanh một trục và đồng thời thực hiện một nửa vòng quay:
Quay lại mục lục "Biến đổi Cross Cap thành Boy"
Quay lại Hướng dẫn Quay lại Trang chủ
Số lượt truy cập kể từ ngày 6 tháng 10 năm 2003: